Gleiche Äste, gleiche Chancen
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht ändert.
- Im Baum:die Äste zu \(B\) sind auf der 2. Stufe gleich: \(P_A(B)=P_{\overline A}(B)\).
- Dann gilt:\(P_A(B)=P(B)\) — die Bedingung \(A\) spielt keine Rolle.
- Beispiele:Würfeln und Münzwurf, Ziehen mit Zurücklegen — unabhängig. Ziehen ohne Zurücklegen — abhängig.
Im Einheitsquadrat ist jede Fläche eine Wahrscheinlichkeit. Ziehe den Punkt oben (Breite \(P(A)\)) und die beiden Trennlinien (Höhen \(P_A(B)\) und \(P_{\overline A}(B)\)) — oder nutze Tab und die Pfeiltasten.
Halte fest: Liegen beide Trennlinien auf gleicher Höhe, ist der Anteil von \(B\) in beiden Spalten gleich — dann ist die Fläche \(A\cap B\) genau \(P(A)\cdot P(B)\).
Die Produktregel als Test
Herleitung:
- Tafel-Test:ein inneres Feld mit dem Produkt seiner Randwerte vergleichen.
- Beispiel:\(P(A)=0{,}4,\ P(B)=0{,}5,\ P(A\cap B)=0{,}2=0{,}4\cdot0{,}5\) — unabhängig.
- Symmetrisch:sind \(A\) und \(B\) unabhängig, dann auch \(A\) und \(\overline B\), \(\overline A\) und \(B\).
- Deuten:„Wer \(A\) hat, hat \(B\) genauso oft wie alle anderen“ — kein statistischer Zusammenhang.
Stochastische Unabhängigkeit: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)
Allgemeine Hinweise
Unabhängig ist nicht unvereinbar
Unvereinbar heißt \(P(A\cap B)=0\) — solche Ereignisse sind (bei \(P(A),P(B)>0\)) sogar abhängig.
Mit exakten Werten prüfen
Gerundete Werte können eine Gleichheit vortäuschen — mit Brüchen oder ungerundeten Zahlen vergleichen.
Daten schwanken
In echten Stichproben ist die Produktregel selten exakt erfüllt — kleine Abweichungen sprechen noch nicht gegen Unabhängigkeit.