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Mittelwert und Erwartungswert

Zehn Übungen, die Daten und Modell auseinanderhalten — und miteinander vergleichen.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Rechnen — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

A1
Daten oder Modell?
AFB I

Welche Aussagen über Kenngrößen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Daten liefern x̄ und s̄, das Modell liefert μ und σ. Die Datenwerte schwanken von Versuchsreihe zu Versuchsreihe, die Modellwerte nicht.
A2
Stimmt's? — Mittelwert und Erwartungswert
AFB I

Fünf Behauptungen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merksatz: Die Daten wackeln, das Modell steht.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze ein — zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Aus einer Versuchsreihe erhält man eine mit dem Mittelwert x̄. Das Modell liefert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dem μ. Mit wachsender Zahl der Versuche nähern sich die relativen den Wahrscheinlichkeiten an — und damit x̄ dem Wert μ. Das Streumaß der Daten ist die empirische s̄, das des Modells heißt σ.

Median und Spannweite sind ebenfalls Kenngrößen von Daten, aber nicht die Partner von μ und σ.
A4
Aus Daten oder aus dem Modell?
AFB II

Ordne jede Angabe zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Daten (Häufigkeitsverteilung)
2Modell (Wahrscheinlichkeitsverteilung)
Alles, was gezählt oder gemessen wurde, gehört zu den Daten; alles, was vorher aus Annahmen berechnet wird, zum Modell.
A5
Mittelwert aus 20 Würfen
AFB I

Ein Würfel wird 20-mal geworfen. Die Augenzahlen 1 bis 6 treten 2-, 4-, 3-, 5-, 2- und 4-mal auf. Berechne den Mittelwert.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Brüche wie 3/8 sind erlaubt, Enter prüft direkt.
x̄ = (1·2 + 2·4 + 3·3 + 4·5 + 5·2 + 6·4) / 20 = 73/20 = 3,65 — etwas über μ = 3,5, bei 20 Würfen völlig normal.
A6
Von der Strichliste zum Vergleich
AFB I

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Absolute Häufigkeiten auszählen
2Relative Häufigkeiten hi = Hi / n bilden
3Mittelwert x̄ = Σ xi · hi berechnen
4Modell aufstellen: P(X = xi) festlegen
5Erwartungswert μ = Σ xi · P(X = xi) berechnen
6x̄ und μ vergleichen und die Abweichung deuten
Die Formeln für Mittelwert und Erwartungswert sind gleich gebaut — nur die Gewichte unterscheiden sich.
A7
Spielautomat
AFB II

Ein Spielautomat wurde 40-mal gespielt: 26-mal 0 €, 10-mal 1 €, 4-mal 5 € Auszahlung. Laut Hersteller gilt P(0 €) = 0,6, P(1 €) = 0,3, P(5 €) = 0,1.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. h(0 €)
  2. x̄ €
  3. μ €
  4. x̄ − μ €
x̄ = (0·26 + 1·10 + 5·4)/40 = 0,75 €; μ = 0·0,6 + 1·0,3 + 5·0,1 = 0,80 €. Die Daten liegen 5 Cent unter dem Modell — bei 40 Spielen kein Grund zur Beschwerde.
A8
Symbole und Bedeutungen
AFB I

Ordne jedem Symbol seine Bedeutung zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Lateinische Buchstaben mit Strich für Daten, griechische Buchstaben für das Modell.
A9
Fehlersuche: Ist die Münze gezinkt?
AFB III

Eine Münze wird 50-mal geworfen, 29-mal fällt Kopf. X = 1 bei Kopf, sonst 0. Drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Eine einzelne kurze Versuchsreihe kann ein Modell nicht widerlegen — erst sehr große Abweichungen oder sehr viele Versuche machen stutzig.
A10
Mittelwert abschätzen
AFB II

X nimmt die Werte 0, 1 und 2 an. Ordne jeder Häufigkeitsverteilung ihren Mittelwert zu.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = x̄ = 0,4, 2 = x̄ = 0,8, 3 = x̄ = 1,0, 4 = x̄ = 1,2, 5 = x̄ = 1,6. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = x̄ = 0,45 = x̄ = 1,6
h(0) = 0,2; h(1) = 0,4; h(2) = 0,4
h(0) = 0,6; h(1) = 0,4; h(2) = 0
h(0) = 0,1; h(1) = 0,2; h(2) = 0,7
h(0) = 0,3; h(1) = 0,4; h(2) = 0,3
h(0) = 0,4; h(1) = 0,4; h(2) = 0,2
x̄ = h(1) + 2 · h(2). Symmetrische Verteilungen um 1 haben den Mittelwert 1.