Mittelwert und Erwartungswert: Abituraufgaben – Mathe Grundkurs

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Würfeltest

AFB I–II

Um einen Würfel zu prüfen, wird er 60-mal geworfen. Die Tabelle zeigt die absoluten Häufigkeiten der Augenzahlen.

Augenzahl	1	2	3	4	5	6
Anzahl	8	12	9	11	7	13

Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten und den Mittelwert \(\overline{x}\).
Bestimmen Sie die empirische Standardabweichung \(\overline{s}\) (GTR/CAS erlaubt).
Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit \(\mu=3{,}5\) und \(\sigma\approx1{,}71\) eines idealen Würfels und beurteilen Sie, ob die Daten gegen einen fairen Würfel sprechen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)

\(h_i=H_i/60\); \(\overline{x}=\sum x_i\cdot h_i\).

Hinweis zu Aufgabe b)

Casio fx-CG50: STAT → Liste 1 Augenzahlen, Liste 2 Häufigkeiten → CALC 1-VAR (Freq: List2), Wert \(\sigma_x\) ablesen.

Hinweis zu Aufgabe c)

Wie groß sind die Abweichungen im Verhältnis zur Anzahl der Würfe?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(h\approx0{,}133;\,0{,}2;\,0{,}15;\,0{,}183;\,0{,}117;\,0{,}217\). \(\overline{x}=\tfrac{8+24+27+44+35+78}{60}=\tfrac{216}{60}=3{,}6\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\overline{s}^{\,2}=\tfrac{1}{60}\sum (x_i-3{,}6)^2\cdot H_i=\tfrac{178{,}4}{60}\approx2{,}97\), also \(\overline{s}\approx1{,}72\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mittelwert (3,6 statt 3,5) und Streuung (1,72 statt 1,71) liegen sehr nah an den Modellwerten; auch die größte relative Häufigkeit \(0{,}217\) weicht bei nur 60 Würfen im üblichen Rahmen von \(\tfrac16\) ab. Die Daten sprechen nicht gegen einen fairen Würfel — beweisen dessen Fairness aber auch nicht.

Kunden an der Kasse

AFB II–III

Eine Supermarktleitung modelliert die Anzahl X der Kunden, die in einer Minute an eine Schnellkasse kommen, durch die angegebene Verteilung. In 100 beobachteten Minuten kamen 25-mal 0, 35-mal 1, 30-mal 2 und 10-mal 3 Kunden.

\(k\)	0	1	2	3
\(P(X=k)\)	0,2	0,4	0,3	0,1

Berechnen Sie Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) des Modells.
Berechnen Sie Mittelwert \(\overline{x}\) und empirische Standardabweichung \(\overline{s}\) der Beobachtung.
Beurteilen Sie, ob das Modell zur Beobachtung passt, und ermitteln Sie, mit wie vielen Kunden pro Stunde die Leitung nach dem Modell rechnen sollte.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)

\(\sigma^2=\sum (x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)\).

Hinweis zu Aufgabe b)

Gleiche Formeln mit den relativen Häufigkeiten 0,25; 0,35; 0,30; 0,10.

Hinweis zu Aufgabe c)

Eine Stunde hat 60 Minuten; der Erwartungswert gilt pro Minute.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\mu=0\cdot0{,}2+1\cdot0{,}4+2\cdot0{,}3+3\cdot0{,}1=1{,}3\). \(\sigma^2=1{,}69\cdot0{,}2+0{,}09\cdot0{,}4+0{,}49\cdot0{,}3+2{,}89\cdot0{,}1=0{,}81\), also \(\sigma=0{,}9\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\overline{x}=0{,}35+0{,}6+0{,}3=1{,}25\). \(\overline{s}^{\,2}=1{,}5625\cdot0{,}25+0{,}0625\cdot0{,}35+0{,}5625\cdot0{,}3+3{,}0625\cdot0{,}1=0{,}8875\), also \(\overline{s}\approx0{,}94\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mittelwert und Streuung weichen nur geringfügig vom Modell ab (1,25 zu 1,3 und 0,94 zu 0,9); bei 100 Minuten passt das Modell gut. Pro Stunde erwartet man \(60\cdot1{,}3=78\) Kunden.