Faire Spiele: Übungen – Mathe Grundkurs

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Rechnen — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

Welche Spiele sind fair?

AFB I

Markiere alle fairen Spiele (E(G) = 0).

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Fair ist ein Spiel genau dann, wenn E(Auszahlung) = Einsatz. Bei zweimal Kopf: 3 · 1/4 = 0,75 € < 1 €.

Stimmt's? — Faire Spiele

AFB I

Fünf Behauptungen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Fair heißt nicht „ausgeglichen in jeder Runde“, sondern „im Mittel kein Gewinn und kein Verlust“.

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Setze ein — zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ein Glücksspiel heißt , wenn der Erwartungswert des null ist. Das ist genau dann der Fall, wenn der Einsatz gleich dem Erwartungswert der ist. Ist dieser Erwartungswert kleiner als der Einsatz, ist das Spiel für den Spieler und der Veranstalter macht auf lange Sicht .

Was der Spieler im Mittel verliert, nimmt der Veranstalter im Mittel ein.

Günstig, fair oder ungünstig?

AFB II

Ordne jedes Spiel aus Sicht des Spielers ein.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1günstig für den Spieler

2fair

3ungünstig für den Spieler

Ass: 10 · 4/32 = 1,25 € > 1 €. Die Lotterie zahlt im Mittel nur die Hälfte des Einsatzes zurück.

Fairer Einsatz

AFB II

Beim Würfeln zahlt eine Sechs 12 €, eine Fünf 3 €, sonst nichts. Wie hoch muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Brüche wie 3/8 sind erlaubt, Enter prüft direkt.

E(A) = 12 · 1/6 + 3 · 1/6 = 15/6 = 2,50 € — das ist der faire Einsatz.

Den Einsatz berechnen

AFB II

Der Einsatz e ist unbekannt. Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Auszahlungen und ihre Wahrscheinlichkeiten notieren

2Gewinne als Auszahlung minus e aufschreiben

3E(G) als Term mit e aufstellen

4Gleichung E(G) = 0 ansetzen

5Nach e auflösen

6Ergebnis prüfen und im Sachkontext formulieren

Der Term für E(G) vereinfacht sich immer zu E(A) − e — deshalb ist der faire Einsatz einfach E(A).

Losbude beim Schulfest

AFB II

Eine Losbude verkauft 200 Lose zu je 2 €. Darunter sind 1 Los mit 100 €, 10 Lose mit 10 € und 40 Lose mit 1 € Gewinn, der Rest sind Nieten.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

E(Auszahlung) pro Los €
E(Gewinn) pro Los €
Überschuss der Bude bei 200 Losen €
fairer Lospreis €

E(A) = (100 + 100 + 40)/200 = 1,20 €; E(G) = −0,80 €; 200 · 0,80 = 160 € für die Klassenkasse. Fair wäre ein Lospreis von 1,20 €.

Fairer Einsatz — schnell erkannt

AFB II

Ordne jedem Spiel seinen fairen Einsatz zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Bei nur einem Gewinnfall: fairer Einsatz = Auszahlung · Gewinnwahrscheinlichkeit.

Fehlersuche: Würfelbude

AFB III

Einsatz 2 €. Eine Sechs zahlt 10 €, eine Fünf 4 €, sonst nichts. Drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 5 stimmt: 8 · 1/6 + 4 · 1/6 = 12/6 = 2 € = Einsatz.

A10

Wie wahrscheinlich muss der Gewinn sein?

AFB III

Einsatz 2 €, es gibt nur einen Gewinnfall. Bei welcher Gewinnwahrscheinlichkeit p ist das Spiel fair?

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = p = 1/10, 2 = p = 1/5, 3 = p = 1/4, 4 = p = 1/3, 5 = p = 1/2. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = p = 1/105 = p = 1/2

Auszahlung 8 €

Auszahlung 4 €

Auszahlung 20 €

Auszahlung 6 €

Auszahlung 10 €

Fair heißt a · p = 2 €, also p = 2 € / a. Je höher die Auszahlung, desto seltener darf sie kommen.