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Faire Spiele

Zwei Abituraufgaben: Entenangeln fair machen und ein Würfelspiel mit Nachwurf bewerten.

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Entenangeln

AFB I–II

Auf einem Kinderfest schwimmen 20 Plastikenten in einem Becken. 2 Enten tragen einen Stern (Gewinn 5 €), 6 Enten einen Punkt (Gewinn 1 €), die übrigen sind unmarkiert. Ein Kind angelt für 1 € Einsatz eine Ente, die danach zurückgesetzt wird.

  1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gewinns G (Auszahlung minus Einsatz).
  2. Berechnen Sie \(E(G)\) und interpretieren Sie den Wert.
  3. Ermitteln Sie, welcher Betrag für eine Sternente das Spiel fair machen würde. Untersuchen Sie alternativ, wie viele Punktenten man bei 5 € für den Stern bräuchte.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
G nimmt die Werte 4 €, 0 € und −1 € an.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gewichtete Summe der Gewinne.
Hinweis zu Aufgabe c)
Setzen Sie \(E(A)=1\) mit unbekanntem Stern-Betrag \(a\) bzw. unbekannter Anzahl \(n\) an.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(G=4)=\tfrac{2}{20}=0{,}1\), \(P(G=0)=\tfrac{6}{20}=0{,}3\), \(P(G=-1)=\tfrac{12}{20}=0{,}6\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(E(G)=4\cdot0{,}1+0\cdot0{,}3-1\cdot0{,}6=-0{,}20\,€\). Pro Spiel verliert ein Kind im Mittel 20 Cent; der Verein nimmt bei 100 Spielen etwa 20 € ein.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\tfrac{2a+6}{20}=1\Rightarrow a=7\,€\). Alternativ: \(\tfrac{2\cdot5+n}{20}=1\Rightarrow n=10\) Punktenten (dann 8 unmarkierte). Beide Varianten sind fair; für ein Kinderfest mit Spendenzweck ist ein leicht ungünstiges Spiel aber üblich.

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Würfeln mit Nachwurf

AFB II–III

Bei einem Würfelspiel wird ein Würfel geworfen. Fällt keine Sechs, ist das Spiel verloren. Fällt eine Sechs, wird noch einmal geworfen: Eine zweite Sechs bringt 10 € Auszahlung, sonst gibt es 2 €. Der Einsatz beträgt 1 €.

  1. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm zu dem Spiel und bestimmen Sie die Verteilung der Auszahlung A.
  2. Berechnen Sie \(E(A)\) und \(E(G)\) und beurteilen Sie das Spiel aus Sicht des Spielers.
  3. Die Auszahlung für zwei Sechsen soll auf einen Betrag \(a\) geändert werden. Ermitteln Sie \(a\) so, dass das Spiel fair ist, und bewerten Sie diesen Vorschlag aus Sicht des Veranstalters.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Der zweite Wurf findet nur nach einer Sechs statt.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(G=A-1\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Ansatz \(a\cdot\tfrac{1}{36}+2\cdot\tfrac{5}{36}=1\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Baum: 1. Wurf „6“ \((\tfrac16)\) / „keine 6“ \((\tfrac56)\); nach „6“ zweiter Wurf „6“ / „keine 6“. \(P(A=10)=\tfrac{1}{36}\), \(P(A=2)=\tfrac{5}{36}\), \(P(A=0)=\tfrac{30}{36}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(E(A)=\tfrac{10}{36}+\tfrac{10}{36}=\tfrac{5}{9}\approx0{,}56\,€\), \(E(G)=\tfrac59-1=-\tfrac49\approx-0{,}44\,€\). Das Spiel ist deutlich ungünstig für den Spieler.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\tfrac{a+10}{36}=1\Rightarrow a=26\,€\). Dann ist das Spiel fair, der Veranstalter nimmt im Mittel nichts ein und trägt trotzdem das Risiko hoher Auszahlungen — für ihn ist der Vorschlag wirtschaftlich unattraktiv.