Zehn Übungen: gewichten, rechnen, deuten — und den Einsatz nicht vergessen.
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Übungsaufgaben
Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Rechnen — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.
A1
Erwartungswert ablesen
AFB I
X nimmt die Werte 1, 2 und 4 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,2; 0,5 und 0,3 an. Welche Aussagen stimmen?
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Der Erwartungswert ist ein gewichteter Mittelwert — die Gewichte sind die Wahrscheinlichkeiten, nicht 1/3.
A2
Stimmt's? — Erwartungswert
AFB I
Fünf Behauptungen.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
E(X) beschreibt den Durchschnitt auf lange Sicht — nicht das Ergebnis eines einzelnen Versuchs.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I
Setze ein — zwei Wörter bleiben übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Der Erwartungswert E(X) ist die Summe der Produkte aus jedem Wert xi und seiner . Er gibt an, welchen Wert man bei vielen im Mittel erwarten kann. Für den Gewinn gilt: Gewinn = Auszahlung − . Ist der Erwartungswert des Gewinns negativ, macht der Spieler auf lange Sicht , der Anbieter dagegen Gewinn.
Achtung: Auszahlung und Gewinn sind verschieden — der Einsatz muss abgezogen werden.
A4
Deutungen prüfen
AFB II
Bei einem Würfelspiel mit 1 € Einsatz gilt E(G) = −0,40 €. Ordne jede Deutung zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1richtig
2falsch
Die letzte Karte: Die mittlere Auszahlung bleibt 0,60 €, also E(G) = 0,60 € − 2 € = −1,40 €.
A5
Erwartungswert berechnen
AFB I
X nimmt die Werte 0, 3 und 10 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,5; 0,3 und 0,2 an. Berechne E(X).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Brüche wie 3/8 sind erlaubt, Enter prüft direkt.
E(X) = 0 · 0,5 + 3 · 0,3 + 10 · 0,2 = 0,9 + 2 = 2,9. Der seltene große Wert 10 trägt mehr bei als der häufige Wert 3.
A6
Vom Spiel zur Entscheidung
AFB I
Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Zufallsgröße festlegen, z. B. G = Gewinn in €
2Alle Werte von G bestimmen (Auszahlung minus Einsatz)
3Zu jedem Wert die Wahrscheinlichkeit berechnen
4Summenkontrolle: Wahrscheinlichkeiten ergeben 1
5E(G) = Σ gi · P(G = gi) berechnen
6Ergebnis im Sachkontext deuten
Die Deutung gehört immer dazu: Ein Erwartungswert ohne Einheit und Satz ist keine Antwort.
A7
Handyversicherung
AFB II
Eine Versicherung verlangt 60 € Jahresbeitrag. Mit Wahrscheinlichkeit 0,02 zahlt sie 500 € (Totalschaden), mit Wahrscheinlichkeit 0,1 zahlt sie 150 € (Displaybruch), sonst nichts.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
E(Zahlung)€
Erwarteter Gewinn pro Vertrag€
Erwarteter Gewinn bei 1000 Verträgen€
E(Zahlung) = 500 · 0,02 + 150 · 0,1 = 10 + 15 = 25 €. Pro Vertrag bleiben im Mittel 60 − 25 = 35 € — daraus bezahlt die Versicherung Verwaltung und Gewinn.
A8
Verteilung und Erwartungswert
AFB II
Ordne jeder Verteilung ihren Erwartungswert zu.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Bei zwei gleich wahrscheinlichen Werten liegt E(X) genau in der Mitte.
A9
Fehlersuche: Glückswürfel
AFB III
Einsatz 2 €. Bei einer Sechs werden 8 € ausgezahlt, bei einer Fünf 2 €, sonst nichts. Drei Zeilen der Rechnung sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 5 rechnet schon mit dem richtigen Gewinn 0 € — die fehlerhafte Zeile 2 hätte sonst alles verfälscht.
A10
Was passiert mit E(X)?
AFB III
Es gilt E(X) = 3. Die Verteilung wird verändert. Ordne jede Änderung dem neuen Erwartungswert zu.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = E = 1,5, 2 = E = 2, 3 = E = 3 (unverändert), 4 = E = 4, 5 = E = 6. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = E = 1,55 = E = 6
Jeder Wert wird um 1 erhöht.
Jeder Wert wird verdoppelt.
Jeder Wert wird um 1 verringert.
X ist symmetrisch um 3 verteilt; jeder Wert x wird durch 6 − x ersetzt.
Jeder Wert wird halbiert.
Verschieben verschiebt E(X), Strecken streckt E(X). Spiegeln am Symmetriezentrum 3 lässt den Schwerpunkt an seinem Platz.
