MINT lernen

Erwartungswert deuten

Zwei Abituraufgaben: ein Rubbellos durchrechnen und über ein fünftes Leihrad entscheiden.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1

Rubbellos

AFB I–II

Ein Rubbellos kostet 2 €. Mit Wahrscheinlichkeit 0,01 gewinnt man 50 €, mit 0,05 gewinnt man 10 €, mit 0,2 bekommt man 2 € ausgezahlt. Sonst gibt es nichts.

  1. Berechnen Sie den Erwartungswert der Auszahlung A.
  2. Bestimmen Sie den Erwartungswert des Gewinns G und interpretieren Sie ihn im Sachzusammenhang.
  3. Der Anbieter möchte die Wahrscheinlichkeit des 50-€-Gewinns so erhöhen, dass er im Mittel nur noch 20 Cent pro Los einnimmt. Ermitteln Sie die neue Wahrscheinlichkeit, wenn die übrigen Wahrscheinlichkeiten gleich bleiben.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(E(A)=\sum a_i\cdot P(A=a_i)\).
Hinweis zu Aufgabe b)
\(G=A-2\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Gesucht ist \(p\) mit \(E(A)=1{,}80\); die Wahrscheinlichkeit für „nichts“ wird entsprechend kleiner.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(E(A)=50\cdot0{,}01+10\cdot0{,}05+2\cdot0{,}2=0{,}5+0{,}5+0{,}4=1{,}40\,€\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(E(G)=1{,}40-2=-0{,}60\,€\). Auf lange Sicht verliert ein Käufer pro Los im Mittel 60 Cent; der Anbieter nimmt diesen Betrag im Mittel pro Los ein.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(50p+0{,}5+0{,}4=1{,}8\Rightarrow p=0{,}018\). Die Gewinnwahrscheinlichkeit für 50 € müsste auf 1,8 % steigen (die Wahrscheinlichkeit für „nichts“ sinkt auf 0,732).

2

Fahrradverleih

AFB II–III

Ein Fahrradverleih besitzt 4 Räder. Die Anzahl X der Kunden, die an einem Tag ein Rad leihen möchten, hat die angegebene Verteilung. Wer kein Rad mehr bekommt, geht wieder. Pro verliehenem Rad nimmt der Verleih 15 € ein.

\(k\)2345
\(P(X=k)\)0,10,20,40,3
  1. Berechnen Sie \(E(X)\) und die erwartete Anzahl Y tatsächlich verliehener Räder.
  2. Bestimmen Sie die erwarteten Tageseinnahmen.
  3. Ein fünftes Rad würde pro Tag 5 € kosten (Abschreibung, Wartung). Entscheiden Sie begründet, ob sich die Anschaffung lohnt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Bei 5 Kunden werden nur 4 Räder verliehen: \(Y=\min(X;4)\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Einnahmen \(=15\cdot Y\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Das fünfte Rad wird nur verliehen, wenn 5 Kunden kommen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(E(X)=2\cdot0{,}1+3\cdot0{,}2+4\cdot0{,}4+5\cdot0{,}3=3{,}9\). \(Y\): 2, 3, 4 mit 0,1; 0,2; 0,7, also \(E(Y)=0{,}2+0{,}6+2{,}8=3{,}6\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(15\cdot3{,}6=54\,€\) pro Tag im Mittel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Das fünfte Rad bringt nur bei \(X=5\) zusätzlich 15 €: im Mittel \(15\cdot0{,}3=4{,}50\,€\) pro Tag. Das ist weniger als die Kosten von 5 € — die Anschaffung lohnt sich bei dieser Nachfrage nicht.