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Bedingung umkehren

Zwei Abituraufgaben: Baum umbauen und die Aussagekraft einer Warnung beurteilen.

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1

Keimende Samen

AFB I–II

Eine Gärtnerei mischt Saatgut zweier Sorten: 70 % der Samen stammen von Sorte A, der Rest von Sorte B. Von Sorte A keimen 90 % der Samen (\(K\)), von Sorte B nur 60 %.

  1. Zeichnen Sie ein beschriftetes Baumdiagramm mit der Sorte in der ersten Stufe.
  2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Samen keimt.
  3. Deuten Sie \(P_{\overline K}(B)\) im Sachzusammenhang.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zweite Stufe: keimt / keimt nicht, getrennt nach Sorte.
Hinweis zu Aufgabe b)
Summenregel über beide Pfade zu \(K\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechnen Sie zuerst \(P(\overline K)\) und \(P(B\cap\overline K)\) aus.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Erste Stufe: \(P(A)=0{,}7\), \(P(B)=0{,}3\). Zweite Stufe: \(P_A(K)=0{,}9\), \(P_A(\overline K)=0{,}1\), \(P_B(K)=0{,}6\), \(P_B(\overline K)=0{,}4\). Pfadenden 0,63; 0,07; 0,18; 0,12.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(K)=0{,}63+0{,}18=0{,}81\). 81 % der Samen keimen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P(\overline K)=0{,}19\), \(P(B\cap\overline K)=0{,}12\), also \(P_{\overline K}(B)=\tfrac{0{,}12}{0{,}19}\approx0{,}63\): Ein Samen, der nicht keimt, stammt mit etwa 63 % von Sorte B — obwohl B nur 30 % der Mischung ausmacht.

2

Betrugserkennung bei Kartenzahlungen

AFB II–III

Bei einer Bank sind 0,5 % aller Kartenzahlungen betrügerisch (\(T\)). Ein Prüfsystem blockiert 98 % der betrügerischen Zahlungen (\(S\)), blockiert aber auch 1 % der legalen Zahlungen.

  1. Bestimmen Sie den Anteil blockierter Zahlungen.
  2. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine blockierte Zahlung tatsächlich betrügerisch ist.
  3. Beurteilen Sie die Werbeaussage „Wird Ihre Zahlung blockiert, ist sie fast sicher betrügerisch“ und entwickeln Sie einen Vorschlag, wie die Bank die Aussagekraft einer Blockierung erhöhen kann.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zwei Pfade führen zu \(S\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Umgekehrte Bedingung: \(P_S(T)=P(T\cap S):P(S)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Überlegen Sie, was eine zweite, unabhängige Prüfung der blockierten Zahlungen bewirkt — rechnen Sie mit denselben Quoten.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(S)=0{,}005\cdot0{,}98+0{,}995\cdot0{,}01=0{,}0049+0{,}00995=0{,}01485\): Knapp 1,5 % aller Zahlungen werden blockiert.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P_S(T)=\tfrac{0{,}0049}{0{,}01485}\approx0{,}33\): Nur etwa jede dritte blockierte Zahlung ist betrügerisch.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch: Zwei Drittel der Blockierungen treffen legale Zahlungen, weil Betrug selten ist. Vorschlag: Blockierte Zahlungen ein zweites Mal unabhängig prüfen. Mit \(P(T)=0{,}33\) als neuer Ausgangswahrscheinlichkeit ergibt sich \(P=\tfrac{0{,}33\cdot0{,}98}{0{,}33\cdot0{,}98+0{,}67\cdot0{,}01}\approx0{,}98\) — erst nach der zweiten Prüfung ist eine Blockierung fast sicher Betrug. Andere begründete Vorschläge (z. B. Rückfrage beim Kunden) sind ebenfalls möglich.