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Bedingung umkehren

Der Filter schlägt Alarm — aber wie sicher ist die Mail dann wirklich Spam?

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Mit 100 Fällen denken

Gegeben ist oft \(P_A(B)\), gefragt aber \(P_B(A)\). Mit konkreten Anzahlen wird die Umkehrung sichtbar.

  • Gegeben:Spam-Anteil \(P(S)\), Trefferquote \(P_S(F)\), Fehlalarme \(P_{\overline S}(F)\).
  • Gesucht:\(P_F(S)\) — die Bedingung ist jetzt die Filter-Fahne \(F\).
  • Vorgehen:alle Fälle mit \(F\) sammeln, darin die Fälle mit \(S\) zählen.

100 E-Mails, der Filter setzt bei manchen eine Fahne \(F\). Markiere zuerst alle Mails mit Fahne. Dann aufdecken und unter den markierten die echten Spam-Mails anklicken (Tastatur: Tab und Enter).

Fahnen zählen

Halte fest: Für \(P_F(S)\) ist die Gruppe aller Mails mit Fahne das Ganze — echte Treffer und Fehlalarme. Deshalb ist \(P_F(S)\) kleiner als die Trefferquote \(P_S(F)\).

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Den Baum umbauen

  • 1. Pfade:\(P(S\cap F)=0{,}2\cdot0{,}9=0{,}18\) und \(P(\overline S\cap F)=0{,}8\cdot0{,}05=0{,}04\).
  • 2. Summe:\(P(F)=0{,}18+0{,}04=0{,}22\) — die erste Stufe des neuen Baums.
  • 3. Teilen:\(P_F(S)=\dfrac{0{,}18}{0{,}22}\approx0{,}82\) — der Ast der zweiten Stufe.

Herleitung:

\(P_F(S)=\dfrac{P(S\cap F)}{P(F)}\)
Ansatz
Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit mit Bedingung \(F\).
\(P_F(S)=\dfrac{P(S)\cdot P_S(F)}{P(F)}\)
Pfadregel
Den Zähler aus dem gegebenen Baum ablesen.
\(P_F(S)=\dfrac{P(S)\cdot P_S(F)}{P(S)\cdot P_S(F)+P(\overline S)\cdot P_{\overline S}(F)}\)
Ergebnis
Der Nenner sammelt alle Pfade, die bei \(F\) enden.
Merke

Umgekehrte Bedingung: \(P_B(A)=\dfrac{P(A)\cdot P_A(B)}{P(B)}\)

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Allgemeine Hinweise

\(P_F(S)\ne P_S(F)\)

Der Filter erkennt 90 % der Spam-Mails, aber nur etwa 82 % der Fahnen-Mails sind Spam.

Seltenes Ereignis, viele Fehlalarme

Je kleiner \(P(S)\), desto mehr Fahnen stammen von normalen Mails — in Beispiel B schon die Hälfte.

Natürliche Häufigkeiten

Mit 100 oder 1000 gedachten Fällen rechnen: Anzahlen sind leichter zu deuten als Produkte von Dezimalzahlen.

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