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Bedingend oder bedingt?

Zwei Abituraufgaben zu Zeitungsmeldungen: Wer ist die Bezugsgruppe — und was folgt daraus?

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1

Müdigkeit am Steuer

AFB I–II

In einer Region sind 10 % der Autofahrten Fahrten mit übermüdeter Person am Steuer (\(M\)). Bei übermüdeten Fahrern kommt es in 8 von 1000 Fahrten zu einem Unfall (\(U\)).

Eine Zeitung schreibt außerdem: „Bei 30 % aller Unfälle saß eine übermüdete Person am Steuer.“

  1. Ordnen Sie den beiden Prozentangaben die passende Schreibweise zu und benennen Sie jeweils bedingendes und bedingtes Ereignis.
  2. Berechnen Sie \(P(M\cap U)\).
  3. Bestimmen Sie mithilfe der Zeitungsangabe die Wahrscheinlichkeit \(P(U)\) für einen Unfall bei einer beliebigen Fahrt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Achten Sie auf „bei übermüdeten Fahrern“ und „bei … aller Unfälle“.
Hinweis zu Aufgabe b)
Pfadregel: erste Stufe \(M\), zweite Stufe \(U\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Nutzen Sie \(P_U(M)=\dfrac{P(M\cap U)}{P(U)}\) und lösen Sie nach \(P(U)\) auf.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

„8 von 1000 bei übermüdeten Fahrern“: \(P_M(U)=0{,}008\), bedingend \(M\), bedingt \(U\). „30 % aller Unfälle“: \(P_U(M)=0{,}3\), bedingend \(U\), bedingt \(M\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(M\cap U)=P(M)\cdot P_M(U)=0{,}1\cdot0{,}008=0{,}0008\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(0{,}3=\dfrac{0{,}0008}{P(U)}\Rightarrow P(U)=\dfrac{0{,}0008}{0{,}3}\approx0{,}0027\). Bei etwa 2,7 von 1000 Fahrten kommt es zu einem Unfall.

2

Helm oder kein Helm?

AFB II–III

Eine Versicherung meldet: „70 % der verletzten Radfahrer trugen keinen Helm.“ Aus einer Verkehrszählung ist bekannt, dass 60 % aller Radfahrer ohne Helm fahren (\(O\)). Nehmen Sie an, dass bei 5 % aller Fahrten eine Verletzung auftritt (\(V\)).

  1. Erläutern Sie, welche bedingte Wahrscheinlichkeit die Versicherung angibt und welche Bezugsgruppe dazu gehört.
  2. Untersuchen Sie, ob Radfahrer ohne Helm häufiger verletzt werden als Radfahrer mit Helm, indem Sie \(P_O(V)\) und \(P_{\overline O}(V)\) berechnen.
  3. Nehmen Sie Stellung zu der Folgerung eines Lesers: „70 % ohne Helm — das beweist schon allein, dass Helme schützen.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Wer ist in „70 % der verletzten Radfahrer“ die Gruppe?
Hinweis zu Aufgabe b)
Erst \(P(V\cap O)=P(V)\cdot P_V(O)\), dann durch \(P(O)\) teilen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Würde die Zahl 70 % auch dann entstehen, wenn Helme gar nichts bewirken? Vergleichen Sie mit dem Anteil ohne Helm unter allen Radfahrern.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Angegeben ist \(P_V(O)=0{,}7\): Bedingung ist die Verletzung, Bezugsgruppe sind die verletzten Radfahrer; bedingtes Ereignis ist „ohne Helm“.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(V\cap O)=0{,}05\cdot0{,}7=0{,}035\), \(P(V\cap\overline O)=0{,}015\). \(P_O(V)=\tfrac{0{,}035}{0{,}6}\approx0{,}058\), \(P_{\overline O}(V)=\tfrac{0{,}015}{0{,}4}=0{,}0375\). Ohne Helm wird man in diesem Modell häufiger verletzt (5,8 % gegenüber 3,75 %).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die 70 % allein beweisen nichts: Wären Verletzungen unabhängig vom Helm, läge der Anteil ohne Helm unter den Verletzten bei 60 % — so hoch wie unter allen Radfahrern. Aussagekräftig ist erst der Vergleich 70 % gegenüber 60 % bzw. \(P_O(V)\) gegenüber \(P_{\overline O}(V)\). Selbst dann ist ein statistischer Zusammenhang kein Beweis für eine Ursache (z. B. fahren Helmträger vielleicht vorsichtiger). Eine vollständige Antwort nennt die fehlende Vergleichsgröße und den Unterschied zwischen Zusammenhang und Ursache.