Die Binomialverteilung: Zusammenfassung – Mathe Grundkurs

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Das Modell der Bernoulli-Kette

Viele Zufallsexperimente lassen sich auf Treffer und Niete zurückführen — wenn p in jeder Stufe gleich bleibt.

Bernoulli-Experiment

Genau zwei Ergebnisse: Treffer mit p, Niete mit 1 − p.

Würfel, Treffer „6“: p = 1/6

Bernoulli-Kette

n unabhängige Wiederholungen mit gleichem p; 2ⁿ Pfade im Baum.

P(TNT) = p · (1 − p) · p

Zufallsgröße X

Zählt die Treffer, Werte 0, 1, …, n.

X: Anzahl der defekten unter 50 Lampen

Modell prüfen

Zwei Ergebnisse? n fest? p konstant? Ohne Zurücklegen nur Näherung bei großer Gesamtheit.

40 aus 5000: Näherung · 5 aus 26: nein

Parameter

X ~ B(n; p)

n: Anzahl der Durchführungen · p: Trefferwahrscheinlichkeit in einer Stufe (Dezimalzahl).

n ist nicht die Gesamtheit

Werden 50 von 2000 Lampen geprüft, ist n = 50. Die 2000 zeigen nur, dass sich p beim Ziehen kaum ändert.

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Wahrscheinlichkeiten berechnen

Aus Pfadzahl und Pfadwahrscheinlichkeit entsteht die Bernoulli-Formel; für Summen nutzt man den Rechner.

Bernoulli-Formel

Anzahl der Pfade mal Wahrscheinlichkeit eines Pfades.

B(5; 0,2; 2) = 10 · 0,2² · 0,8³ = 0,2048

Binomialkoeffizient

(n über k) = n! : (k! · (n − k)!), GTR: nCr.

(6 über 2) = 15

Rechner

GTR: STAT › DIST › BINOMIAL › Bpd / Bcd. CAS: binomPdf(n,p,k), binomCdf(n,p,a,b).

binomPdf(20,0.3,6) ≈ 0,1916

Kumuliert übersetzen

Alles auf „höchstens“ zurückführen.

P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)

Bernoulli-Formel

P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

Die Exponenten ergeben zusammen n; die Säulen aller k ergeben zusammen 1.

Grenzen genau lesen

„Mehr als 9“ beginnt bei 10, „mindestens 9“ bei 9. Die gesuchte Menge der k-Werte vorher aufschreiben.

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Kenngrößen und Prognosen

Erwartungswert und Standardabweichung beschreiben Lage und Breite; Prognoseintervalle machen Vorhersagen prüfbar.

Erwartungswert

Schwerpunkt des Histogramms, mittlere Trefferzahl vieler Ketten.

μ = n · p

Standardabweichung

Typische Abweichung von μ; am größten bei p = 0,5.

σ = √(n · p · (1 − p))

Prognoseintervall

Kleinstes [μ − c; μ + c] mit P ≥ 0,95 (bzw. 0,9).

n = 100, p = 0,3: [21; 39]

Stichprobe beurteilen

Ergebnis im Intervall: verträglich, sonst nicht verträglich.

p = 0,4, n = 200: 64 ∉ [66; 94]

Kenngrößen

μ = n · p und σ = √(n · p · (1 − p))

Viele Simulationen: relative Häufigkeiten ≈ B(n; p; k), Mittelwert ≈ μ.

Verträglich ist nicht bewiesen

Liegt ein Ergebnis im Prognoseintervall, spricht nichts gegen p — bewiesen ist p damit aber nicht.