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Abituraufgaben: Zufallsgröße, n und p

Zwei Aufgaben im Abiturformat: Parameter im Sachkontext angeben und deuten.

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Umfrage zum Schulweg

AFB I–II

In einer Großstadt fahren nach einer Studie 35 % aller Jugendlichen mit dem Fahrrad zur Schule. Für eine Reportage werden 16 Jugendliche zufällig ausgewählt und befragt. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Radfahrenden unter den Befragten.

  1. Geben Sie \(n\), \(p\) und die möglichen Werte von \(X\) an.
  2. Berechnen Sie \(P(X=6)\).
  3. Beschreiben Sie das Ereignis \(X\le2\) im Sachzusammenhang.
  4. Begründen Sie, dass \(Y=16-X\) ebenfalls binomialverteilt ist, und geben Sie die Parameter an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welche Zahl gibt die Zahl der Befragten an?
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\binom{16}{6}\cdot0{,}35^6\cdot0{,}65^{10}\) oder Bpd.
Hinweis zu Aufgabe c)
„Höchstens …“
Hinweis zu Aufgabe d)
Was zählt \(Y\)?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(n=16\), \(p=0{,}35\), \(X\in\{0;1;\dots;16\}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(X=6)=\binom{16}{6}\cdot0{,}35^6\cdot0{,}65^{10}\approx0{,}1982\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Höchstens zwei der 16 befragten Jugendlichen fahren mit dem Rad zur Schule.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(Y\) zählt die Befragten, die nicht mit dem Rad fahren. Jede Befragung ist eine Bernoulli-Stufe mit „fährt nicht Rad“ als Treffer und Wahrscheinlichkeit \(0{,}65\). Also ist \(Y\) binomialverteilt mit \(n=16\) und \(p=0{,}65\).

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Qualität im Onlineshop

AFB II–III

Ein Onlineshop verschickt täglich rund 4000 Pakete. Aus Erfahrung kommen 6 % der Pakete verspätet an. Die Kundenbetreuung wertet an einem Tag die Zustellung von 50 zufällig ausgewählten Paketen aus.

  1. Erläutern Sie die Bedeutung von \(n\) und \(p\) im Sachzusammenhang und begründen Sie, warum hier nicht \(n=4000\) gilt.
  2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 der 50 Pakete verspätet ankommen.
  3. Interpretieren Sie die Gleichung \(P(X=0)=0{,}94^{50}\approx0{,}045\) im Sachzusammenhang.
  4. Beurteilen Sie den Vorschlag, statt 50 Paketen nur 5 auszuwerten, um „die Verspätungsquote zu ermitteln“.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Was wird gezählt — und unter welchen Paketen?
Hinweis zu Aufgabe b)
Bpd mit x = 3, Numtrial 50, p = 0,06.
Hinweis zu Aufgabe c)
Was bedeutet \(X=0\)?
Hinweis zu Aufgabe d)
Welche Werte kann die relative Häufigkeit bei 5 Paketen überhaupt annehmen?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(n=50\) ist die Anzahl der ausgewerteten Pakete, \(p=0{,}06\) die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Paket verspätet ist. 4000 ist die Größe der Tagesmenge, aus der gezogen wird; sie zeigt nur, dass sich \(p\) beim Auswählen kaum ändert.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(X=3)=\binom{50}{3}\cdot0{,}06^3\cdot0{,}94^{47}\approx0{,}2311\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 4,5 % kommt keines der 50 Pakete verspätet an.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Bei 5 Paketen kann der Anteil nur 0, 20 %, 40 % … betragen; mit \(0{,}94^5\approx73\,\%\) ist sogar gar keine Verspätung dabei. Eine Quote von 6 % lässt sich so nicht ermitteln — der Vorschlag ist ungeeignet.