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Abituraufgaben: P(X = k) mit GTR und CAS

Zwei Aufgaben im Abiturformat: Einzelwahrscheinlichkeiten mit GTR und CAS.

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Impfquote im Sportverein

AFB I–II

In einer Region sind 65 % der Erwachsenen gegen Grippe geimpft. Bei einem Sportfest werden 24 erwachsene Teilnehmende zufällig ausgewählt und nach ihrer Impfung gefragt. \(X\) sei die Anzahl der Geimpften.

  1. Geben Sie einen geeigneten Rechneraufruf für \(P(X=16)\) an.
  2. Berechnen Sie \(P(X=16)\) und \(P(X=24)\).
  3. Ermitteln Sie mit einer Wertetabelle des Rechners die wahrscheinlichste Anzahl Geimpfter.
  4. Deuten Sie das Ergebnis \(P(X=24)\) im Sachzusammenhang.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Reihenfolge der Eingaben beim CAS: \(n\), \(p\), \(k\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Bpd bzw. binomPdf; für \(X=24\) reicht \(0{,}65^{24}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(\text{binomPdf}(24;0{,}65)\) liefert die Liste; Säulen um \(\mu\) vergleichen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wie oft kommt das Ereignis bei vielen Stichproben vor?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

CAS: \(\text{binomPdf}(24,\,0.65,\,16)\); GTR: Bpd mit x = 16, Numtrial = 24, p = 0,65.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(X=16)\approx0{,}1682\); \(P(X=24)=0{,}65^{24}\approx0{,}00003\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\mu=15{,}6\). \(P(X=15)\approx0{,}1610\), \(P(X=16)\approx0{,}1682\), \(P(X=17)\approx0{,}1470\). Am wahrscheinlichsten sind 16 Geimpfte.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Nur in etwa 3 von 100 000 solchen Stichproben wären alle 24 Befragten geimpft — praktisch ausgeschlossen, aber nicht unmöglich.

2

Kontrolle am Flughafen

AFB II–III

An einem Flughafen wird ein Gepäckstück mit Wahrscheinlichkeit 0,04 für eine Zusatzkontrolle ausgewählt. An einem Schalter werden in einer Stunde 75 Gepäckstücke aufgegeben. Die Auswahl erfolgt unabhängig.

  1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 Gepäckstücke kontrolliert werden.
  2. Untersuchen Sie, welche Anzahl kontrollierter Gepäckstücke am wahrscheinlichsten ist, und begründen Sie Ihr Vorgehen.
  3. Vergleichen Sie \(P(X=3)\) für \(n=75\) mit \(P(X=6)\) für \(n=150\) und erklären Sie, warum der zweite Wert kleiner ist, obwohl jeweils \(k=\mu\) gilt.
  4. Beurteilen Sie die Aussage: „In 75 Fällen werden sicher 3 Gepäckstücke kontrolliert, weil 4 % von 75 genau 3 sind.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Bpd mit x = 3, Numtrial = 75, p = 0,04.
Hinweis zu Aufgabe b)
Säulen um \(\mu=3\) vergleichen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wie verändert sich die Breite der Verteilung mit \(n\)?
Hinweis zu Aufgabe d)
Unterscheiden Sie Erwartungswert und sicheres Ergebnis.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(X=3)\approx0{,}2287\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(X=2)\approx0{,}2255\), \(P(X=3)\approx0{,}2287\), \(P(X=4)\approx0{,}1715\). Am wahrscheinlichsten sind 3 Kontrollen; die höchste Säule liegt bei \(\mu=3\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P(X=6)\approx0{,}1639\) bei \(n=150\). Mit größerem \(n\) wird \(\sigma\) größer (\(\approx2{,}40\) statt \(\approx1{,}70\)), die Wahrscheinlichkeit verteilt sich auf mehr Werte — jede einzelne Säule wird niedriger.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Aussage ist falsch: 3 ist der Erwartungswert, tritt aber nur mit rund 23 % ein. In gut drei Viertel aller Stunden werden mehr oder weniger als 3 Gepäckstücke kontrolliert.