Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Aussagen beurteilen, Formeln allgemein untersuchen und Modelle kritisch prüfen, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, dass P(X = k) = P(Y = n − k) gilt, wenn X die Treffer und Y die Nieten einer Bernoulli-Kette zählt.
Hinweis: Vergleiche die Ereignisse, nicht die Formeln.
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Musterlösung: Jeder Pfad mit genau k Treffern hat genau n − k Nieten und umgekehrt. Die Ereignisse „X = k“ und „Y = n − k“ bestehen also aus denselben Pfaden und haben dieselbe Wahrscheinlichkeit. In Formeln: (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ = (n über n − k) · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ · pᵏ, denn (n über k) = (n über n − k).
Beurteile die Aussage: „Wirft man eine faire Münze 10-mal, kommt genau 5-mal Kopf, weil der Erwartungswert 5 ist.“
Hinweis: Berechne P(X = 5).
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Der Erwartungswert μ = 10 · 0,5 = 5 ist der Mittelwert der Trefferzahl über sehr viele Serien. Genau 5-mal Kopf tritt nur mit P(X = 5) = (10 über 5) · 0,5¹⁰ ≈ 0,246 ein — in etwa drei von vier Serien kommt eine andere Zahl.
Untersuche, wie sich μ, σ und die relative Streuung σ : n ändern, wenn n vervierfacht wird (p bleibt gleich).
Hinweis: Setze 4n in die Formeln ein.
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Musterlösung: μ = n · p wird zu 4n · p, vervierfacht sich also. σ = √(n p(1 − p)) wird zu √(4 n p(1 − p)) = 2σ, verdoppelt sich nur. Die relative Streuung σ : n halbiert sich: 2σ : (4n) = ½ · σ : n. Deshalb werden relative Häufigkeiten bei großen Stichproben verlässlicher.
Beurteile, ob die Anzahl der Mädchen unter 4 aus 28 Schülerinnen und Schülern (14 Mädchen) ausgelosten Personen binomialverteilt ist.
Hinweis: Prüfe die drei Bedingungen der Bernoulli-Kette.
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Musterlösung: Zwei Ergebnisse (Mädchen/Junge) und n = 4 sind gegeben. Es wird aber ohne Zurücklegen gelost: Nach einem Mädchen ist p = 13/27 ≈ 0,481, nach einem Jungen 14/27 ≈ 0,519. Die Stufen sind nicht unabhängig und p ist nicht konstant. Da 4 von 28 kein kleiner Anteil ist, ist das Modell der Bernoulli-Kette hier nur eine grobe Näherung.
Begründe, dass das Histogramm einer Binomialverteilung mit p = 0,5 symmetrisch zu k = n/2 ist.
Hinweis: Vergleiche P(X = k) und P(X = n − k).
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Musterlösung: Für p = 0,5 gilt P(X = k) = (n über k) · 0,5ᵏ · 0,5ⁿ⁻ᵏ = (n über k) · 0,5ⁿ. Da (n über k) = (n über n − k), ist P(X = k) = P(X = n − k). Die Säulen bei k und n − k sind gleich hoch; diese Stellen liegen symmetrisch zu n/2.
Zeige, dass σ bei festem n für p = 0,5 am größten ist.
Hinweis: Untersuche den Term p · (1 − p).
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Musterlösung: σ = √(n · p(1 − p)) ist am größten, wenn p(1 − p) am größten ist. f(p) = p − p² ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen 0 und 1, ihr Scheitel liegt in der Mitte bei p = 0,5 mit f(0,5) = 0,25. Also ist σ bei p = 0,5 maximal: σ = √(0,25 n) = ½√n.
Beurteile die Aussage: „Das 95 %-Prognoseintervall [34; 56] für n = 150 und p = 0,3 bedeutet, dass p mit 95 % Wahrscheinlichkeit zwischen 34 und 56 liegt.“
Hinweis: Worüber macht ein Prognoseintervall eine Aussage?
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Beim Prognoseintervall ist p = 0,3 bekannt. Das Intervall sagt voraus, dass die Anzahl X der Treffer unter 150 mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit zwischen 34 und 56 liegt. Außerdem kann p als Wahrscheinlichkeit gar nicht zwischen 34 und 56 liegen — das sind absolute Häufigkeiten.
Ermittle, wie viele Freiwürfe eine Spielerin mit Trefferquote 70 % mindestens werfen muss, damit sie mit mindestens 99 % Wahrscheinlichkeit wenigstens einmal trifft.
Hinweis: Nutze das Gegenereignis.
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Musterlösung: P(mindestens ein Treffer) = 1 − 0,3ⁿ. Gefordert ist 1 − 0,3ⁿ ≥ 0,99, also 0,3ⁿ ≤ 0,01. Für n = 3 ist 0,3³ = 0,027 zu groß, für n = 4 ist 0,3⁴ = 0,0081 ≤ 0,01. Sie muss mindestens 4-mal werfen.
Vergleiche die Binomialverteilungen mit n = 12, p = 0,5 und n = 60, p = 0,1 hinsichtlich Lage und Breite des Histogramms.
Hinweis: Berechne μ und σ für beide.
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Musterlösung: Beide haben μ = 6, die höchsten Säulen liegen also bei 6. Die Standardabweichungen unterscheiden sich: σ = √3 ≈ 1,73 bzw. σ = √5,4 ≈ 2,32. Das zweite Histogramm ist breiter und flacher; das erste ist symmetrisch (p = 0,5), das zweite leicht rechtsschief (p = 0,1).
Beurteile die Schlussfolgerung: „Wir haben 20 Serien simuliert, 5 Treffer kamen nie vor. Also ist P(X = 5) = 0.“ (n = 10, p = 0,3)
Hinweis: Berechne P(X = 5) und schätze, wie oft 5 in 20 Serien zu erwarten ist.
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Musterlösung: Die Schlussfolgerung ist falsch. P(X = 5) = (10 über 5) · 0,3⁵ · 0,7⁵ ≈ 0,103, in 20 Serien wären etwa 2 Fälle zu erwarten. Dass 5 gar nicht vorkommt, hat trotzdem eine Wahrscheinlichkeit von 0,897²⁰ ≈ 0,11. Eine relative Häufigkeit von 0 in wenigen Versuchen beweist keine Wahrscheinlichkeit 0.