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Übung — AFB II (Zusammenhänge herstellen)

Zehn Sachaufgaben vom Multiple-Choice-Test bis zur Qualitätskontrolle — erst modellieren, dann rechnen.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus dem ganzen Kapitel: erst Zufallsgröße, n und p festlegen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Raten im Test
AFB II

Ein Test hat 10 Fragen mit je 4 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Tim kreuzt bei jeder Frage zufällig an.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 3 richtige Antworten. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 richtige Antworten (je vier Nachkommastellen).

Ansatz: X: Anzahl richtiger Antworten, n = 10, p = 0,25.
Rechenweg: a) Bpd mit x = 3; b) 1 − P(X ≤ 4) oder Bcd mit Lower 5, Upper 10.
Lösung: a) 0,2503 b) 0,0781
Vollständige Lösung
X ~ B(10; 0,25). a) P(X = 3) = (10 über 3) · 0,25³ · 0,75⁷ ≈ 0,2503. b) P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4) ≈ 1 − 0,9219 = 0,0781. Mit Raten die Hälfte zu schaffen, gelingt also nur in etwa 8 % der Fälle.
A2
Freiwurftraining
AFB II

Eine Basketballerin trifft 85 % ihrer Freiwürfe. Sie wirft 12-mal.

a) Wie viele Treffer sind im Mittel zu erwarten? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft sie alle 12 Würfe (vier Nachkommastellen)?

Ansatz: n = 12, p = 0,85; für b) nur ein Pfad.
Rechenweg: a) μ = n · p; b) 0,85¹².
Lösung: a) 10,2 b) 0,1422
Vollständige Lösung
a) μ = 12 · 0,85 = 10,2 Treffer. b) P(X = 12) = 0,85¹² ≈ 0,1422 — nur in etwa jeder siebten Serie gelingen alle Würfe.
A3
Keimende Samen
AFB II

Laut Packung keimen 90 % der Samen. Es werden 20 Samen ausgesät.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 16 keimen. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass 17 bis 19 keimen (je vier Nachkommastellen).

Ansatz: X: Anzahl keimender Samen, n = 20, p = 0,9.
Rechenweg: a) Bcd Lower 0, Upper 16. b) Bcd Lower 17, Upper 19.
Lösung: a) 0,1330 b) 0,7455
Vollständige Lösung
a) P(X ≤ 16) ≈ 0,1330. b) P(17 ≤ X ≤ 19) = P(X ≤ 19) − P(X ≤ 16) ≈ 0,8784 − 0,1330 = 0,7455.
A4
Defekte Teile
AFB II

In einer Produktion sind 4 % der Teile defekt. Eine Kiste enthält 50 zufällig ausgewählte Teile.

a) Berechne den Erwartungswert der defekten Teile. b) Berechne die Standardabweichung (zwei Nachkommastellen).

Ansatz: n = 50, p = 0,04.
Rechenweg: μ = n · p; σ = √(n · p · (1 − p)).
Lösung: a) 2 b) 1,39
Vollständige Lösung
a) μ = 50 · 0,04 = 2. b) σ = √(50 · 0,04 · 0,96) = √1,92 ≈ 1,39. Typisch sind also etwa 1 bis 3 defekte Teile pro Kiste.
A5
Warten auf die Sechs
AFB II

Ein fairer Würfel wird geworfen. Treffer ist die Sechs.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs bei 10 Würfen (vier Nachkommastellen). b) Wie oft muss man mindestens werfen, damit diese Wahrscheinlichkeit über 90 % liegt?

Ansatz: Gegenereignis „keine Sechs“: (5/6)ⁿ.
Rechenweg: a) 1 − (5/6)¹⁰. b) 1 − (5/6)ⁿ > 0,9 ⇔ (5/6)ⁿ < 0,1; Werte für n = 12, 13 testen.
Lösung: a) 0,8385 b) 13
Vollständige Lösung
a) 1 − (5/6)¹⁰ ≈ 0,8385. b) (5/6)¹² ≈ 0,112 > 0,1, aber (5/6)¹³ ≈ 0,093 < 0,1. Also sind mindestens 13 Würfe nötig.
A6
Glücksrad auf dem Fest
AFB II

Ein Glücksrad zeigt mit Wahrscheinlichkeit 0,25 einen Gewinn. Es wird 16-mal gedreht.

a) Berechne P(X = 4) (vier Nachkommastellen). b) Welche Gewinnzahl ist am wahrscheinlichsten?

Ansatz: n = 16, p = 0,25; die höchste Säule liegt nahe μ.
Rechenweg: a) Bpd mit x = 4. b) μ = 16 · 0,25 = 4; Nachbarwerte P(X = 3) und P(X = 5) vergleichen.
Lösung: a) 0,2252 b) 4
Vollständige Lösung
a) P(X = 4) ≈ 0,2252. b) P(X = 3) ≈ 0,2079 und P(X = 5) ≈ 0,1802 sind kleiner — die wahrscheinlichste Gewinnzahl ist 4 = μ.
A7
Histogramm rückwärts
AFB II

Das Histogramm einer Binomialverteilung mit n = 40 hat seine höchste Säule bei k = 12, der Erwartungswert ist ganzzahlig.

a) Bestimme p. b) Berechne σ (zwei Nachkommastellen).

Ansatz: Das Maximum liegt beim ganzzahligen μ = n · p.
Rechenweg: a) 12 = 40 · p. b) σ = √(40 · 0,3 · 0,7).
Lösung: a) 0,3 b) 2,90
Vollständige Lösung
a) p = 12 : 40 = 0,3. b) σ = √(40 · 0,3 · 0,7) = √8,4 ≈ 2,90.
A8
Pünktlicher Bus
AFB II

Ein Bus ist mit Wahrscheinlichkeit 0,8 pünktlich. Lea fährt an 5 Tagen der Woche.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er an genau 4 Tagen pünktlich ist. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er an allen 5 Tagen pünktlich ist (je vier Nachkommastellen).

Ansatz: n = 5, p = 0,8, Tage als unabhängig angenommen.
Rechenweg: a) 5 · 0,8⁴ · 0,2. b) 0,8⁵.
Lösung: a) 0,4096 b) 0,3277
Vollständige Lösung
a) (5 über 4) · 0,8⁴ · 0,2 = 5 · 0,4096 · 0,2 = 0,4096. b) 0,8⁵ ≈ 0,3277. Modellannahme: Die Pünktlichkeit an verschiedenen Tagen ist unabhängig.
A9
Umfrage vorhersagen
AFB II

30 % der Kunden eines Supermarkts nutzen die Selbstbedienungskasse. 150 Kunden werden beobachtet.

Bestimme das 95 %-Prognoseintervall: a) untere Grenze, b) obere Grenze.

Ansatz: μ = 45; symmetrisch [45 − c; 45 + c] erweitern.
Rechenweg: P(35 ≤ X ≤ 55) ≈ 0,939 < 0,95; P(34 ≤ X ≤ 56) ≈ 0,960.
Lösung: a) 34 b) 56
Vollständige Lösung
μ = 150 · 0,3 = 45. P(35 ≤ X ≤ 55) ≈ 0,939 reicht nicht, P(34 ≤ X ≤ 56) ≈ 0,960 ≥ 0,95. Das 95 %-Prognoseintervall ist [34; 56].
A10
Fehlerquote prüfen
AFB II

Eine Maschine soll höchstens 10 % Ausschuss produzieren. Unter 120 Teilen sind 19 fehlerhaft.

Bestimme das 95 %-Prognoseintervall zu p = 0,1: a) untere Grenze, b) obere Grenze. Entscheide dann über die Verträglichkeit.

Ansatz: μ = 12; Intervall symmetrisch um 12.
Rechenweg: P(7 ≤ X ≤ 17) ≈ 0,909; P(6 ≤ X ≤ 18) ≈ 0,954.
Lösung: a) 6 b) 18 — 19 liegt außerhalb
Vollständige Lösung
μ = 12. P(7 ≤ X ≤ 17) ≈ 0,909 < 0,95, P(6 ≤ X ≤ 18) ≈ 0,954. Intervall [6; 18]. 19 liegt außerhalb: Das Ergebnis ist mit p = 0,1 nicht verträglich — die Ausschussquote ist vermutlich höher.