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Übung — AFB I (Reproduzieren)

Zehn Grundaufgaben von der Pfadregel bis zur Standardabweichung — wer sie sicher löst, hat die ersten Punkte der Klausur schon.

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: Formel kennen, Werte einsetzen, ausrechnen. Das sind die sicheren Punkte in jeder Klausur — vom Binomialkoeffizienten bis zu μ und σ.

A1
Trefferwahrscheinlichkeit
AFB I

Ein Würfel wird 8-mal geworfen. Treffer ist „Augenzahl 1 oder 2“. Gib die Trefferwahrscheinlichkeit p an.

Laplace: p = günstige : mögliche Ergebnisse.
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Günstig sind 1 und 2, also p = 2/6 = 1/3 ≈ 0,3333
A2
Anzahl der Pfade
AFB I

Eine Bernoulli-Kette hat die Länge n = 6. Wie viele Pfade hat das Baumdiagramm?

Baumdiagramm: Jede Stufe verdoppelt die Zahl der Pfade.
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2⁶ = 64
A3
Pfadwahrscheinlichkeit
AFB I

In einer Bernoulli-Kette mit p = 0,4 wird der Pfad TNT betrachtet. Berechne seine Wahrscheinlichkeit.

Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren.
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0,4 · 0,6 · 0,4 = 0,096
A4
Binomialkoeffizient
AFB I

Berechne den Binomialkoeffizienten (6 über 2).

Formel: (n über k) = n! : (k! · (n − k)!); GTR: 6 nCr 2.
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6! : (2! · 4!) = 720 : 48 = 15
A5
Genau k Treffer
AFB I

X ist binomialverteilt mit n = 5 und p = 0,2. Berechne P(X = 2).

Bernoulli-Formel: P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
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10 · 0,2² · 0,8³ = 10 · 0,04 · 0,512 = 0,2048
A6
Höchstens
AFB I

X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,1. Berechne P(X ≤ 2) auf vier Nachkommastellen.

Kumuliert: GTR Bcd mit Lower 0, Upper 2.
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B(10; 0,1; 0) + B(10; 0,1; 1) + B(10; 0,1; 2) = 0,3487 + 0,3874 + 0,1937 ≈ 0,9298
A7
Mindestens einer
AFB I

X ist binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,25. Berechne P(X ≥ 1) auf vier Nachkommastellen.

Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0).
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1 − 0,75⁸ = 1 − 0,1001 ≈ 0,8999
A8
Gegenwahrscheinlichkeit
AFB I

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße gilt P(X ≤ 4) = 0,8. Gib P(X ≥ 5) an.

Gegenereignis: „mindestens 5“ ist das Gegenteil von „höchstens 4“.
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1 − P(X ≤ 4) = 1 − 0,8 = 0,2
A9
Erwartungswert
AFB I

X ist binomialverteilt mit n = 40 und p = 0,15. Berechne den Erwartungswert.

Erwartungswert: μ = n · p.
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40 · 0,15 = 6
A10
Standardabweichung
AFB I

X ist binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,5. Berechne die Standardabweichung.

Standardabweichung: σ = √(n · p · (1 − p)).
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√(100 · 0,5 · 0,5) = √25 = 5