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Abituraufgaben: Simulation und Verteilung

Zwei Aufgaben im Abiturformat: Simulationen planen, auswerten und beurteilen.

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Simulation eines Glücksspiels

AFB I–II

Bei einem Spiel auf dem Stadtfest gewinnt man mit Wahrscheinlichkeit 0,15. Maja möchte ohne Formel untersuchen, wie wahrscheinlich es ist, bei 12 Spielen mindestens 3-mal zu gewinnen. Sie simuliert dazu am Rechner 500 Serien zu je 12 Spielen. In 138 Serien gewinnt sie mindestens 3-mal.

  1. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem sich eine Serie von 12 Spielen mit Zufallszahlen simulieren lässt.
  2. Geben Sie die relative Häufigkeit für mindestens 3 Gewinne aus Majas Simulation an.
  3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für mindestens 3 Gewinne mit der Binomialverteilung.
  4. Vergleichen Sie das Simulationsergebnis mit dem exakten Wert.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zuordnung Zufallszahl → Gewinn festlegen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Anzahl der Serien mit Erfolg durch 500.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(1-P(X\le2)\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Wie groß ist die Abweichung? Ist sie bei 500 Serien plausibel?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Für jedes Spiel eine Zufallszahl \(z\) zwischen 0 und 1 erzeugen; Gewinn, wenn \(z\lt0{,}15\). Zwölf Zahlen bilden eine Serie, die Gewinne werden gezählt (am CAS direkt: \(\text{randBin}(12,\,0.15)\)).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(h=\tfrac{138}{500}=0{,}276\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P(X\ge3)=1-P(X\le2)\approx1-0{,}7358=0{,}2642\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Abweichung beträgt etwa 0,012. Bei 500 Serien sind Schwankungen dieser Größe (typisch etwa \(\sqrt{0{,}26\cdot0{,}74/500}\approx0{,}02\)) zu erwarten — die Simulation passt gut zum Modell.

2

Hat die Simulation einen Fehler?

AFB II–III

Leon simuliert 10 000 Ketten der Länge 6 mit \(p=0{,}5\) und erhält für die Trefferzahlen 0 bis 6 die relativen Häufigkeiten 0,016; 0,093; 0,236; 0,312; 0,233; 0,094; 0,016. Seine Freundin Emma simuliert dieselbe Situation und erhält \(h(X=3)=0{,}25\).

  1. Bestimmen Sie \(P(X=3)\) und vergleichen Sie mit Leons Wert.
  2. Zeigen Sie, dass Leons Häufigkeitsverteilung nahezu symmetrisch ist, und begründen Sie, warum das zu erwarten ist.
  3. Beurteilen Sie Emmas Ergebnis, wenn sie ebenfalls 10 000 Ketten simuliert hat.
  4. Deuten Sie Emmas Ergebnis, falls sie nur 40 Ketten simuliert hat.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(\binom63\cdot0{,}5^6\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleichen Sie \(h(X=k)\) und \(h(X=6-k)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Typische Abweichung bei 10 000 Ketten: \(\sqrt{0{,}31\cdot0{,}69/10\,000}\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Typische Abweichung bei 40 Ketten.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(X=3)=\tfrac{20}{64}=0{,}3125\); Leons 0,312 weicht nur um 0,0005 ab.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(h(0)=h(6)=0{,}016\), \(h(1)\approx h(5)\), \(h(2)\approx h(4)\). Bei \(p=0{,}5\) ist die Binomialverteilung symmetrisch zu \(k=3\); bei 10 000 Ketten liegt die Simulation sehr nahe daran.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Typische Abweichung etwa 0,005; Emmas Wert weicht um über 0,06 ab — mehr als das Zehnfache. Das deutet auf einen Fehler in ihrer Simulation (z. B. falsche Zuordnung der Zufallszahlen) hin.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Bei 40 Ketten beträgt die typische Abweichung etwa \(\sqrt{0{,}31\cdot0{,}69/40}\approx0{,}07\). Dann ist 0,25 statt 0,3125 eine gewöhnliche Schwankung — kein Hinweis auf einen Fehler.