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Abituraufgaben: Prognoseintervalle

Zwei Aufgaben im Abiturformat: Prognoseintervalle bestimmen und die Rolle von n untersuchen.

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Frühstück in der Mensa

AFB I–II

Laut einer Befragung frühstücken 40 % der Schülerinnen und Schüler einer großen Gesamtschule morgens nicht zu Hause. Die Mensa plant ein Frühstücksangebot und betrachtet eine Stichprobe von 120 zufällig ausgewählten Schülerinnen und Schülern.

  1. Berechnen Sie den Erwartungswert der Anzahl der Schülerinnen und Schüler ohne Frühstück.
  2. Ermitteln Sie tabellarisch das 95 %-Prognoseintervall für diese Anzahl.
  3. Interpretieren Sie das Intervall im Sachzusammenhang.
  4. Geben Sie das zugehörige Intervall für den Anteil an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(\mu=np\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Werte \(P(48-c\le X\le48+c)\) für \(c=8,9,10\) vergleichen.
Hinweis zu Aufgabe c)
„Mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit …“
Hinweis zu Aufgabe d)
Grenzen durch \(n=120\) teilen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\mu=120\cdot0{,}4=48\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(c=9\): \(P(39\le X\le57)\approx0{,}924\); \(c=10\): \(P(38\le X\le58)\approx0{,}950\ge0{,}95\). Das Intervall ist \([38;\,58]\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % frühstücken zwischen 38 und 58 der 120 Befragten nicht zu Hause.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(\left[\tfrac{38}{120};\,\tfrac{58}{120}\right]\approx[0{,}317;\,0{,}483]\).

2

Wie groß muss die Stichprobe sein?

AFB II–III

Ein Institut weiß, dass 60 % der Bevölkerung einen bestimmten Radiosender kennen. Es plant Umfragen und möchte, dass der Anteil in der Stichprobe mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit höchstens 5 Prozentpunkte vom wahren Anteil abweicht.

  1. Bestimmen Sie das 95 %-Prognoseintervall für die Anzahl bei \(n=100\) und das zugehörige Intervall für den Anteil.
  2. Untersuchen Sie, ob die Anforderung des Instituts bei \(n=100\) oder bei \(n=400\) erfüllt ist; für \(n=400\) gilt \(P(221\le X\le259)\approx0{,}954\) und \(P(222\le X\le258)\approx0{,}941\).
  3. Erklären Sie, warum das Anteils-Intervall bei größerem \(n\) schmaler wird, obwohl das Intervall für die Anzahl breiter wird.
  4. Entwickeln Sie eine Strategie, wie man mithilfe des Rechners ein \(n\) findet, das die Anforderung gerade erfüllt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(\mu=60\), Intervalle um 60 prüfen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Anteils-Intervall mit \([0{,}55;\,0{,}65]\) vergleichen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wie wachsen \(\mu\) und \(\sigma\) mit \(n\)?
Hinweis zu Aufgabe d)
Systematisch \(n\) erhöhen und jeweils die Wahrscheinlichkeit für das Anteils-Intervall prüfen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(51\le X\le69)\approx0{,}948\), \(P(50\le X\le70)\approx0{,}968\) ⇒ \([50;\,70]\); Anteil \([0{,}50;\,0{,}70]\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(n=100\): Abweichung bis 0,10 — nicht erfüllt. \(n=400\): \([221;\,259]\), Anteil \([0{,}5525;\,0{,}6475]\), Abweichung unter 0,05 — erfüllt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Anzahl streut mit \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\), wächst also mit \(\sqrt n\). Beim Anteil wird durch \(n\) geteilt: \(\sigma/n=\sqrt{p(1-p)/n}\) nimmt mit wachsendem \(n\) ab.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Für verschiedene \(n\) (z. B. in 20er-Schritten ab 300) \(P(0{,}55n\le X\le0{,}65n)\) mit Bcd bzw. binomCdf berechnen und das kleinste \(n\) suchen, bei dem der Wert mindestens 0,95 beträgt.