Das Intervall um μ bauen
Ein Prognoseintervall sagt voraus, in welchem Bereich die Trefferzahl mit hoher Wahrscheinlichkeit liegen wird.
- Prognoseintervall:kleinstes zu \(\mu\) symmetrisches Intervall \([\mu-c;\,\mu+c]\) mit \(P(\mu-c\le X\le\mu+c)\ge90\,\%\) bzw. \(95\,\%\).
- Grafisch:Vom Erwartungswert aus links und rechts je eine Säule dazunehmen, bis die Summe die Sicherheit erreicht.
- Tabellarisch:GTR Bcd mit Lower \(\mu-c\), Upper \(\mu+c\) für \(c=1,2,3,\dots\) — der erste Wert über der Grenze entscheidet.
Baue das Intervall Säule für Säule auf, bis die gewählte Sicherheit erreicht ist. Prüfe dann, ob es wirklich das kleinste symmetrische Intervall ist.
| c | Intervall | P(μ − c ≤ X ≤ μ + c) |
|---|
Halte fest: Man erweitert symmetrisch, bis die Wahrscheinlichkeit die Grenze zum ersten Mal erreicht. Das Intervall davor ist zu klein, jedes größere nicht mehr das kleinste.
Im Sachkontext deuten
Das Prognoseintervall macht eine Aussage über zukünftige Stichproben, wenn \(p\) bekannt ist.
- Beispiel:30 % der Kunden zahlen bar, \(n=100\): 95 %-Prognoseintervall \([21;\,39]\), denn \(P(21\le X\le39)\approx0{,}963\) und \(P(22\le X\le38)\approx0{,}937\).
- Aussage:„Mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit zahlen zwischen 21 und 39 der 100 Kunden bar.“
- Relativ:Durch \(n\) teilen: Der Anteil liegt zwischen \(0{,}21\) und \(0{,}39\).
- Größeres n:Bei \(n=1000\) ist das Intervall \([272;\,328]\), der Anteil liegt dann zwischen \(0{,}272\) und \(0{,}328\) — deutlich enger.
95 %-Prognoseintervall: kleinstes \([\mu-c;\,\mu+c]\) mit \(P(\mu-c\le X\le\mu+c)\ge0{,}95\)
Allgemeine Hinweise
Nicht über 95 % hinausbauen
Ist die Grenze erreicht, wird nicht weiter erweitert — das kleinste passende Intervall ist gesucht.
Beide Nachbarwerte angeben
Zur Begründung gehören zwei Wahrscheinlichkeiten: die für das Intervall (über der Grenze) und die für das nächstkleinere (darunter).
Prognose, keine Garantie
Auch außerhalb des Intervalls kann die Trefferzahl liegen — nur eben mit weniger als 5 % Wahrscheinlichkeit.