Wissen und Reproduzieren
16 PunkteEin Glücksrad zeigt mit Wahrscheinlichkeit 0,2 „Gewinn“. Es wird 6-mal gedreht; X zählt die Gewinne.
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Erwartungshorizont: a) 15 (1 P) b) 15 · 0,2² · 0,8⁴ ≈ 0,2458 (2 P) c) 0,8⁶ ≈ 0,2621 (1 P).
X ist binomialverteilt mit n = 20 und p = 0,4. Berechne jeweils auf vier Nachkommastellen.
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Erwartungshorizont: a) 0,2500 b) 1 − P(X ≤ 9) ≈ 0,2447 c) P(X ≤ 9) − P(X ≤ 4) ≈ 0,7044 d) 1 − P(X ≤ 12) ≈ 0,0210 (je 1 P).
X ist binomialverteilt mit n = 80 und p = 0,35.
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Erwartungshorizont: a) μ = 80 · 0,35 = 28 (2 P) b) σ = √(80 · 0,35 · 0,65) = √18,2 ≈ 4,27 (2 P).
Welche Zufallsgrößen sind (zumindest näherungsweise) binomialverteilt?
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Erwartungshorizont: Binomialverteilt: 1 (n = 30, p = 1/6) und 3 (Stichprobe klein gegenüber der Gesamtheit). Nicht: 2 (n nicht fest), 4 (kleine Gesamtheit, p ändert sich stark). Je richtige Auswahl 2 P, je Fehlklick 2 P Abzug.
Zusammenhänge herstellen
22 PunkteErfahrungsgemäß treten 8 % der Fluggäste ihren Flug nicht an. Für einen Flug mit 96 Plätzen werden 100 Tickets verkauft. X: Anzahl der Gäste, die nicht erscheinen (Unabhängigkeit angenommen).
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Erwartungshorizont: a) μ = 100 · 0,08 = 8 (2 P) b) Mehr als 96 erscheinen ⇔ höchstens 3 fehlen: P(X ≤ 3) ≈ 0,0367 (2 P) c) P(X ≤ 10) − P(X ≤ 4) ≈ 0,7340 (2 P).
Von einer binomialverteilten Zufallsgröße sind μ = 18 und σ = 3 bekannt.
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Erwartungshorizont: σ² = n · p · (1 − p) = μ · (1 − p) ⇒ 9 = 18 · (1 − p) ⇒ 1 − p = 0,5, p = 0,5 (3 P). n = μ : p = 36 (3 P).
In einem Sportverein sind 25 % der Mitglieder Jugendliche. Bei einer Veranstaltung werden 200 Mitglieder zufällig ausgewählt.
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Erwartungshorizont: μ = 50; P(39 ≤ X ≤ 61) ≈ 0,940 < 0,95, P(38 ≤ X ≤ 62) ≈ 0,959 ⇒ [38; 62] (je 2 P). Anteil 38 : 200 = 0,19 (1 P).
Bei einer Schnitzeljagd enthält jede Kiste mit Wahrscheinlichkeit 0,15 einen Preis.
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Erwartungshorizont: a) 1 − 0,85¹⁰ ≈ 0,8031 (2 P) b) 1 − 0,85ⁿ ≥ 0,95 ⇔ 0,85ⁿ ≤ 0,05; 0,85¹⁸ ≈ 0,054, 0,85¹⁹ ≈ 0,046 ⇒ n = 19 (3 P).
Verallgemeinern und beurteilen
12 PunkteBeurteile die Aussagen.
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Erwartungshorizont: Wahr sind 1, 3 und 5. Falsch: σ wächst mit √n, verdoppelt sich also nicht; „verträglich“ ist kein Beweis; μ muss nicht ganzzahlig sein und wird selbst dann nicht sicher erreicht. Je richtige Auswahl 2 P, je Fehlklick 2 P Abzug.
Ein Anbieter wirbt: „90 % unserer Kunden sind zufrieden.“ In einer Befragung von 100 zufällig ausgewählten Kunden sind 83 zufrieden.
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Erwartungshorizont: μ = 90; P(85 ≤ X ≤ 95) ≈ 0,936 < 0,95; P(84 ≤ X ≤ 96) ≈ 0,972 ⇒ [84; 96] (je 2 P). 83 liegt unterhalb: nicht verträglich, der Anteil zufriedener Kunden ist vermutlich kleiner als 90 % (2 P).
Ergebnis
| Aufgabe | Thema | Punkte |
|---|
Notenschema
| Punkte | Note | Beurteilung |
|---|---|---|
| 46 – 50 P | 1 | sehr gut |
| 40 – 45 P | 2 | gut |
| 30 – 39 P | 3 | befriedigend |
| 22 – 29 P | 4 | ausreichend |
| 12 – 21 P | 5 | mangelhaft |
| 0 – 11 P | 6 | ungenügend |