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Abituraufgaben: Kumulierte Wahrscheinlichkeit

Zwei Aufgaben im Abiturformat: kumulierte Wahrscheinlichkeiten im Sachkontext.

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1

Parkplätze am Einkaufszentrum

AFB I–II

Ein Einkaufszentrum hat 50 Parkplätze für Elektroautos. Erfahrungsgemäß ist jeder dieser Plätze zur Mittagszeit unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit 0,8 belegt. \(X\) sei die Anzahl der belegten Plätze.

  1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 37 Plätze belegt sind.
  2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 45 Plätze belegt sind.
  3. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 38 und 42 Plätze (einschließlich) belegt sind.
  4. Interpretieren Sie das Ergebnis \(P(X\ge48)\approx0{,}0013\) im Sachzusammenhang.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Bcd mit Lower 0 und Upper 37.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gegenereignis: höchstens 44.
Hinweis zu Aufgabe c)
Differenz oder Bcd mit beiden Grenzen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wie viele Plätze sind dann noch frei?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(X\le37)\approx0{,}1861\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(X\ge45)=1-P(X\le44)\approx0{,}0480\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P(38\le X\le42)=P(X\le42)-P(X\le37)\approx0{,}6235\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Dass mittags höchstens zwei Plätze frei sind, kommt nur an etwa 13 von 10 000 Tagen vor — praktisch findet man immer einen freien Platz.

2

Pünktlichkeit der Regionalbahn

AFB II–III

Ein Verkehrsverbund gibt an, dass 88 % der Züge einer Regionalbahnlinie pünktlich sind. Ein Pendler fährt in einem Monat an 20 Arbeitstagen morgens mit dieser Linie. Er nimmt an, dass die Pünktlichkeit an verschiedenen Tagen unabhängig ist.

  1. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass der Zug an mindestens 18 Tagen pünktlich ist.
  2. Untersuchen Sie, wie wahrscheinlich es ist, dass der Zug an mehr als 3 Tagen verspätet ist.
  3. Erklären Sie, warum die Ergebnisse aus a) und b) zusammen nicht 1 ergeben.
  4. Beurteilen Sie die Annahme der Unabhängigkeit, wenn es im Monat eine Woche mit Bauarbeiten gibt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
1 − P(X ≤ 17).
Hinweis zu Aufgabe b)
Verspätungen: \(Y=20-X\) mit \(p=0{,}12\) oder über \(X\le16\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Werte von \(X\) liegen in keinem der beiden Ereignisse?
Hinweis zu Aufgabe d)
Bleibt \(p\) an allen Tagen gleich?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(X\ge18)=1-P(X\le17)\approx0{,}5631\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Mehr als 3 Verspätungen ⇔ \(X\le16\): \(P(X\le16)\approx0{,}2127\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

a) umfasst \(X\in\{18;19;20\}\), b) umfasst \(X\le16\). Der Wert \(X=17\) (genau 3 Verspätungen) fehlt in beiden: \(P(X=17)\approx0{,}2242\). Die drei Werte ergeben zusammen 1.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Während der Bauarbeiten ist die Verspätungswahrscheinlichkeit höher, außerdem treten Verspätungen an diesen Tagen gehäuft auf. \(p\) ist dann nicht konstant, die Tage sind nicht unabhängig — das Modell passt nur eingeschränkt, die berechneten Werte überschätzen die Pünktlichkeit.