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Übungen: Histogramme deuten

Zehn Übungen zu Lage, Breite und Form von Histogrammen.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung.

A1
Was verrät ein Histogramm?
AFB I

Markiere alle Aussagen, die für jedes Histogramm einer Binomialverteilung gelten.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Mit größerem n wird das Histogramm breiter und flacher, weil σ wächst und die Summe 1 auf mehr Säulen verteilt wird.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Aussagen über Histogramme.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Lage ↔ μ = n · p, Breite ↔ σ, Symmetrie ↔ p = 0,5.
A3
Ein Histogramm beschreiben
AFB I

Ergänze die Beschreibung des Histogramms zu n = 60, p = 0,1 — zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die höchste Säule liegt bei k = , weil μ = 60 · 0,1 ist. Das Histogramm ist nicht symmetrisch, sondern läuft nach flach aus. Fast alle Säulen rechts von k = 15 sind so niedrig, dass man sie kaum erkennt. Die Standardabweichung beträgt etwa , die typischen Trefferzahlen liegen also ungefähr zwischen und .

μ ± σ ≈ 3,7 bis 8,3 — gerundet 4 bis 8. Kleine p erzeugen ein rechtsschiefes Histogramm.
A4
Wo liegt die höchste Säule?
AFB I

Ordne jede Verteilung der Lage ihrer höchsten Säule zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1bei k = 6
2bei k = 15
3bei k = 24
Die Lage hängt nur von n · p ab — ganz verschiedene Parameter können dieselbe Lage haben.
A5
p aus der Lage
AFB II

Ein Histogramm zu n = 80 hat seine höchste Säule bei k = 20, der Erwartungswert ist ganzzahlig. Bestimme p.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
20 = 80 · p ⇒ p = 0,25. Der Trick: Die höchste Säule liegt bei ganzzahligem μ genau bei μ.
A6
Von breit bis schmal
AFB II

Alle Verteilungen haben μ = 12. Ordne vom breitesten zum schmalsten Histogramm.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1n = 240, p = 0,05
2n = 60, p = 0,2
3n = 40, p = 0,3
4n = 24, p = 0,5
5n = 16, p = 0,75
6n = 13, p = 12/13
Bei gleichem μ ist σ² = μ · (1 − p): Je kleiner p, desto breiter. σ reicht von ≈ 3,38 (p = 0,05) bis ≈ 0,96 (p = 12/13).
A7
Parameter aus μ und σ
AFB II

Ein Histogramm einer Binomialverteilung hat die höchste Säule bei 36, außerdem ist σ = 4,8 bekannt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. μ
  2. σ²
  3. 1 − p = σ² : μ
  4. p
  5. n
σ² = n · p · (1 − p) = μ · (1 − p) ⇒ 1 − p = 23,04 : 36 = 0,64, p = 0,36 und n = 36 : 0,36 = 100.
A8
Beschreibung und Parameter
AFB II

Verbinde jede Beschreibung mit den passenden Parametern.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Links- oder rechtsschief hängt davon ab, ob p über oder unter 0,5 liegt. Die Breite verrät n: n = 50 streut stärker als n = 20.
A9
Fehlersuche: Histogramm zu n = 40, p = 0,25
AFB III

Drei Sätze der Beschreibung sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Höhe = Wahrscheinlichkeit, Lage = μ, Breite = σ. Wer diese drei auseinanderhält, deutet jedes Histogramm.
A10
Was passiert mit dem Histogramm?
AFB III

Ausgangslage n = 50, p = 0,3. Wie verändert sich die Höhe der höchsten Säule?

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = deutlich niedriger, 2 = etwas niedriger, 3 = etwa gleich, 4 = etwas höher, 5 = deutlich höher. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = deutlich niedriger5 = deutlich höher
n = 200, p = 0,3
n = 50, p = 0,7
n = 50, p = 0,5
n = 50, p = 0,05
n = 25, p = 0,3
Die Höhe hängt von σ ab: n = 200 verdoppelt σ (Säule halb so hoch); p = 0,7 spiegelt nur; p = 0,5 vergrößert σ leicht; p = 0,05 macht σ ≈ 1,5 klein (Säule ≈ 0,26 statt 0,12); n = 25 verkleinert σ um √2.