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Abituraufgaben: Histogramme deuten

Zwei Aufgaben im Abiturformat: Histogramme zuordnen und im Sachkontext deuten.

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Histogramme zuordnen

AFB I–II

In der Abbildung sind drei Histogramme binomialverteilter Zufallsgrößen dargestellt. Die Rechtsachse zeigt jeweils \(k=0\) bis \(k=25\).

Drei Histogramme
A 0,00 0,06 0,12 0,18 0,24 0 5 10 15 20 25 k B 0,00 0,06 0,12 0,18 0,24 0 5 10 15 20 25 k C 0,00 0,06 0,12 0,18 0,24 0 5 10 15 20 25 k
Die Histogramme gehören zu den Parametern (n = 25; p = 0,6), (n = 60; p = 0,1) und (n = 15; p = 0,4) — in unbekannter Reihenfolge.
  1. Ordnen Sie die drei Parameterpaare den Histogrammen A, B und C zu.
  2. Begründen Sie Ihre Zuordnung aus a) mithilfe von Erwartungswert und Standardabweichung.
  3. Lesen Sie aus dem passenden Histogramm näherungsweise \(P(X=6)\) für \(n=15\), \(p=0{,}4\) ab und überprüfen Sie den Wert rechnerisch.
  4. Erläutern Sie, warum A und B trotz gleicher Lage der höchsten Säule verschieden aussehen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Berechnen Sie für alle drei Paare \(\mu=np\).
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\) entscheidet über die Breite.
Hinweis zu Aufgabe c)
Höhe der Säule bei \(k=6\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Vergleichen Sie \(\sigma\) und die Form links und rechts vom Maximum.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

A: \(n=15\), \(p=0{,}4\); B: \(n=60\), \(p=0{,}1\); C: \(n=25\), \(p=0{,}6\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\mu\): 6, 6 und 15 — C ist das einzige Histogramm mit Maximum bei 15. A und B haben beide \(\mu=6\); \(\sigma_A\approx1{,}90\) ist kleiner als \(\sigma_B\approx2{,}32\), also ist A schmaler und höher.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Abgelesen etwa 0,2; rechnerisch \(P(X=6)=\binom{15}{6}\cdot0{,}4^6\cdot0{,}6^9\approx0{,}2066\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Gleiches \(\mu=6\), aber B hat das größere \(\sigma\) und ist wegen \(p=0{,}1\) deutlich rechtsschief: Rechts vom Maximum fallen die Säulen langsamer ab als links. A ist fast symmetrisch, schmaler und höher.

2

Gleiches Ziel, verschiedene Streuung

AFB II–III

Drei Bogenschützen treffen die Zielscheibe mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit: Anna mit 0,3, Ben mit 0,5, Can mit 0,75. Damit jeder im Mittel 15 Treffer erzielt, schießt Anna 50-, Ben 30- und Can 20-mal. Die Abbildung zeigt die zugehörigen Histogramme I, II und III.

Gleicher Erwartungswert
I 0,00 0,06 0,12 0,18 0,24 0 5 10 15 20 25 30 k II 0,00 0,06 0,12 0,18 0,24 0 5 10 15 20 25 30 k III 0,00 0,06 0,12 0,18 0,24 0 5 10 15 20 25 30 k
Drei Binomialverteilungen mit dem Erwartungswert μ = 15.
  1. Weisen Sie, dass alle drei im Mittel 15 Treffer erzielen.
  2. Entscheiden Sie begründet, welches der Histogramme I bis III zu welchem Schützen gehört.
  3. Interpretieren Sie die unterschiedliche Breite der Histogramme im Sachzusammenhang.
  4. Beurteilen Sie die Aussage: „Bei gleichem Erwartungswert sind die Schützen gleich zuverlässig.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(\mu=np\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Anzahl der Säulen bzw. größter möglicher Wert \(n\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(\sigma\) für alle drei berechnen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Was bedeutet eine kleine Standardabweichung für die Trefferzahl?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(50\cdot0{,}3=30\cdot0{,}5=20\cdot0{,}75=15\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Das Histogramm mit Säulen bis \(k=20\) und steilem Abfall rechts ist III (Can, \(n=20\)); das breiteste ist I (Anna, \(n=50\)), II gehört zu Ben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\sigma\): Anna \(\approx3{,}24\), Ben \(\approx2{,}74\), Can \(\approx1{,}94\). Annas Trefferzahl schwankt von Durchgang zu Durchgang am stärksten, Cans am wenigsten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Aussage ist falsch: Der Erwartungswert beschreibt nur den Durchschnitt. Can erzielt bei gleichem Mittelwert viel verlässlicher Werte nahe 15; Anna liefert häufiger sehr gute oder sehr schlechte Durchgänge.