Erwartungswert und Streuung: Übungen – Mathe Grundkurs

A1

Aussagen über μ und σ

AFB I

X ist binomialverteilt mit n = 64 und p = 0,5. Markiere alle richtigen Aussagen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

σ² = 64 · 0,5 · 0,5 = 16 ist die Varianz, σ = 4. Der Erwartungswert ist der Durchschnitt vieler Ketten, kein sicheres Ergebnis.

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Aussagen zu Erwartungswert und Standardabweichung.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

μ = n · p verschiebt, σ = √(n · p · (1 − p)) verbreitert — aber nur mit der Wurzel aus n.

A3

Kenngrößen deuten

AFB I

Ergänze — zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Der Erwartungswert μ ist der des Histogramms und gibt die Trefferzahl bei sehr vielen Wiederholungen an. Die Standardabweichung σ misst die typische vom Erwartungswert. Man erhält sie als der Varianz.

„Sichere“ Trefferzahl ist ein häufiger Denkfehler: μ = 32 heißt nicht, dass genau 32 Treffer kommen.

A4

Wie groß ist σ?

AFB I

Ordne jede Verteilung ihrer Standardabweichung zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1σ = 2

2σ = 3

3σ = 6

σ² = n · p · (1 − p): 4, 9 oder 36. n = 100, p = 0,1 ergibt 9 — also σ = 3.

A5

Standardabweichung

AFB II

Bei einer Verkehrszählung fahren 20 % der Fahrzeuge schneller als erlaubt. Es werden 75 Fahrzeuge beobachtet. Berechne σ (zwei Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

σ = √(75 · 0,2 · 0,8) = √12 ≈ 3,46. Typisch sind also etwa 15 ± 3,5 zu schnelle Fahrzeuge. Häufig vergessen: die Wurzel — 12 wäre die Varianz.

A6

Nach σ ordnen

AFB II

Ordne die Verteilungen nach ihrer Standardabweichung — kleinste zuerst.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1n = 24, p = 0,25

2n = 30, p = 0,7

3n = 90, p = 0,1

4n = 75, p = 0,2

5n = 150, p = 0,4

6n = 200, p = 0,3

σ ≈ 2,12 · 2,51 · 2,85 · 3,46 · 6 · 6,48. Nicht n allein entscheidet: n = 90 mit p = 0,1 streut weniger als n = 75 mit p = 0,2, weil p(1 − p) kleiner ist.

A7

Wahlumfrage

AFB II

40 % der Wahlberechtigten unterstützen eine Kandidatin. 150 Personen werden befragt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

μ Personen
Varianz σ²
σ Personen
P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) (vier Nachkommastellen)

Rund 72 % der Umfragen landen zwischen 54 und 66 Zustimmenden. Die σ-Umgebung enthält also gut zwei Drittel aller Ergebnisse.

A8

Parameter und Kenngrößen

AFB II

Verbinde jede Verteilung mit ihren Kenngrößen.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Gleiches μ = 60, aber verschiedene σ: p = 0,3 bei n = 200 streut mehr als p = 0,4 bei n = 150.

A9

Fehlersuche: Losbude

AFB III

Bei einer Losbude gewinnen 15 % der Lose; es werden 80 Lose verkauft. Drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

μ wächst proportional zu n, σ nur mit √n.

A10

Was passiert mit σ?

AFB III

Ausgangslage n = 100, p = 0,5 (σ = 5). Schätze die neue Standardabweichung.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = kleiner als 2, 2 = 2 bis 4, 3 = etwa 5, 4 = 6 bis 8, 5 = 9 oder mehr. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = kleiner als 25 = 9 oder mehr

n = 400, p = 0,5

n = 100, p = 0,02

n = 100, p = 0,9

n = 200, p = 0,5

n = 100, p = 0,6

n = 400: σ = 10 (vierfaches n, doppeltes σ). n = 200: σ ≈ 7,07. p = 0,6: σ ≈ 4,90. p = 0,9: σ = 3. p = 0,02: σ = 1,4. Seltene Treffer streuen wenig.

Übungen: Erwartungswert und Streuung

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