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Abituraufgaben: Erwartungswert und Streuung

Zwei Aufgaben im Abiturformat: Kenngrößen berechnen, deuten und vergleichen.

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Gewinnspiel im Supermarkt

AFB I–II

Bei einer Rabattaktion erhält jeder Kunde an der Kasse ein Rubbelfeld. Mit Wahrscheinlichkeit 0,18 gewinnt man einen Gutschein. An einem Vormittag nehmen 250 Kundinnen und Kunden teil.

  1. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Anzahl der Gewinne.
  2. Interpretieren Sie den Erwartungswert im Sachzusammenhang.
  3. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Gewinne um höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
  4. Beurteilen Sie die Planung der Marktleitung, genau 45 Gutscheine bereitzulegen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(\mu=np\), \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Was passiert bei vielen Vormittagen?
Hinweis zu Aufgabe c)
Grenzen: \(\mu-\sigma\) und \(\mu+\sigma\) nach innen auf ganze Zahlen runden.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wie wahrscheinlich reichen 45 Gutscheine nicht?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\mu=250\cdot0{,}18=45\); \(\sigma=\sqrt{250\cdot0{,}18\cdot0{,}82}=\sqrt{36{,}9}\approx6{,}07\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Über viele solcher Vormittage werden im Mittel 45 Gutscheine gewonnen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(38{,}9\le X\le51{,}1\), also \(39\le X\le51\): \(P(39\le X\le51)\approx0{,}7157\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(P(X>45)=1-P(X\le45)\approx0{,}4603\): An fast jedem zweiten Vormittag reichen 45 Gutscheine nicht. Die Marktleitung sollte mehr bereitlegen, etwa \(\mu+2\sigma\approx57\).

2

Zwei Maschinen im Vergleich

AFB II–III

In einer Fabrik füllen zwei Maschinen Pakete ab. Maschine A produziert täglich 400 Pakete, von denen jedes mit Wahrscheinlichkeit 0,05 untergewichtig ist. Maschine B produziert täglich 100 Pakete mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 0,2.

  1. Zeigen Sie, dass bei beiden Maschinen im Mittel gleich viele untergewichtige Pakete entstehen.
  2. Vergleichen Sie die Standardabweichungen und deuten Sie den Unterschied.
  3. Untersuchen Sie, bei welcher Maschine es wahrscheinlicher ist, dass an einem Tag mehr als 25 untergewichtige Pakete entstehen.
  4. Entwickeln Sie eine allgemeine Aussage darüber, wie sich \(\sigma\) bei festem \(\mu\) verhält, wenn \(p\) kleiner und \(n\) entsprechend größer wird.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(\mu\) jeweils ausrechnen.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\sigma^2=\mu(1-p)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(1-P(X\le25)\) für beide Maschinen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Setzen Sie \(n=\tfrac{\mu}{p}\) in \(\sigma^2\) ein.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

A: \(\mu=400\cdot0{,}05=20\); B: \(\mu=100\cdot0{,}2=20\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

A: \(\sigma=\sqrt{19}\approx4{,}36\); B: \(\sigma=\sqrt{16}=4\). Bei A schwankt die Tagesanzahl etwas stärker.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

A: \(P(X>25)\approx0{,}1065\); B: \(P(X>25)\approx0{,}0875\). Bei Maschine A ist ein solcher Tag etwas wahrscheinlicher — passend zum größeren \(\sigma\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(\sigma^2=np(1-p)=\mu(1-p)\). Bei festem \(\mu\) wird \(\sigma\) umso größer, je kleiner \(p\) ist, und nähert sich \(\sqrt\mu\).