Der Erwartungswert
Der Erwartungswert gibt an, wie viele Treffer man im Mittel erhält, wenn man die Bernoulli-Kette sehr oft durchführt.
Herleitung:Eine einzelne Stufe liefert 0 oder 1 Treffer — im Mittel \(p\).
Die Treffer der Kette sind die Summe der Treffer der einzelnen Stufen.
Jede der \(n\) Stufen trägt im Mittel \(p\) bei.
Das Histogramm liegt auf einer Wippe. Ziehe den Drehpunkt (oder Pfeiltasten, mit Umschalt feiner), bis die Wippe waagerecht steht.
Halte fest: Der Erwartungswert ist der Schwerpunkt des Histogramms. Er muss keine ganze Zahl sein — bei \(n=15\), \(p=0{,}8\) liegt er bei \(12\), bei \(n=10\), \(p=0{,}25\) bei \(2{,}5\).
Die Standardabweichung
Wie weit die Trefferzahlen typischerweise vom Erwartungswert abweichen, misst die Standardabweichung.
- Formel:\(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\), Varianz \(V(X)=\sigma^2=n\cdot p\cdot(1-p)\).
- Beispiel:\(n=50\), \(p=0{,}2\): \(\mu=10\), \(\sigma=\sqrt{50\cdot0{,}2\cdot0{,}8}=\sqrt8\approx2{,}83\).
- Deutung:Ein großer Teil der Ergebnisse liegt zwischen \(\mu-\sigma\) und \(\mu+\sigma\), hier etwa zwischen 7 und 13 Treffern.
- Einfluss:\(\sigma\) ist bei \(p=0{,}5\) am größten und wächst mit \(n\) — aber nur wie \(\sqrt n\).
Kenngrößen: \(\mu=E(X)=n\cdot p\) und \(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\)
Allgemeine Hinweise
Im Sachkontext deuten
„Bei 50 Bestellungen sind im Mittel 10 Reklamationen zu erwarten“ — nicht: „Es gibt genau 10 Reklamationen“.
Wurzel nicht vergessen
\(n\cdot p\cdot(1-p)=8\) ist die Varianz. Die Standardabweichung ist \(\sqrt8\approx2{,}83\).
Schnellkontrolle
Die höchste Säule liegt immer bei der ganzen Zahl nahe \(n\cdot p\). Liegt sie woanders, stimmt etwas nicht.