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Übungen: Passt die Bernoulli-Kette?

Zehn Übungen dazu, wann das Modell der Bernoulli-Kette trägt — und wann nicht.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung.

A1
Bedingungen der Bernoulli-Kette
AFB I

Welche Bedingungen muss eine Situation erfüllen, damit sie als Bernoulli-Kette modelliert werden darf?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
p = 0,5 ist nicht nötig. Und ohne Zurücklegen ist das Modell bei großer Gesamtheit trotzdem eine gute Näherung.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Aussagen zur Modellprüfung.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Drei Prüffragen: zwei Ergebnisse? n fest? p gleich und unabhängig?
A3
Warum nur näherungsweise?
AFB I

Ergänze die Begründung — zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Bei einer Tombola mit 200 Losen und 20 Gewinnen werden 3 Lose Zurücklegen gezogen. Nach jedem Zug ändert sich die geringfügig. Weil die im Vergleich zur klein ist, ist die Änderung aber so gering, dass das Modell der Bernoulli-Kette eine gute ist.

Exakt wäre P(3 Gewinne) = 20/200 · 19/199 · 18/198 ≈ 0,00087, das Modell liefert 0,1³ = 0,001.
A4
Welche Bedingung ist verletzt?
AFB I

Ordne jede Situation der Bedingung zu, die verletzt ist.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1nicht zwei Ergebnisse
2n nicht fest
3p nicht konstant/abhängig
Wartesituationen („bis …“) verletzen die feste Länge. Frost an allen Tagen macht Verspätungen voneinander abhängig — p ist nicht konstant.
A5
Exakt oder Modell?
AFB II

Aus 12 Karten, darunter 3 Joker, werden 2 ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die exakte Wahrscheinlichkeit für zwei Joker (vier Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
3/12 · 2/11 = 6/132 ≈ 0,0455. Das Bernoulli-Modell liefert (3/12)² = 0,0625 — fast 40 % zu viel. Bei nur 12 Karten ist das Modell ungeeignet.
A6
Modell prüfen und nutzen
AFB II

Bringe die Schritte einer vollständigen Modellbegründung in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Treffer und Niete festlegen
2Länge n prüfen: steht sie vorher fest?
3Prüfen, ob p konstant und die Stufen unabhängig sind
4Bei „ohne Zurücklegen“: Stichprobe mit Gesamtheit vergleichen
5Modell annehmen und im Text als Annahme formulieren
6Erst jetzt mit B(n; p; k) rechnen
Die Annahme gehört in den Antworttext: „Wir nehmen an, dass …“ — das bringt im Abitur Punkte.
A7
Tombola: Modell gegen Wirklichkeit
AFB II

200 Lose, davon 10 Gewinne (p = 0,05). Jana kauft 5 Lose.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Modell: P(mindestens ein Gewinn) = 1 − 0,95⁵ (vier Nachkommastellen)
  2. Exakt: P(kein Gewinn) = 190/200 · 189/199 · … · 186/196 (vier Nachkommastellen)
  3. Exakt: P(mindestens ein Gewinn) (vier Nachkommastellen)
  4. Unterschied Modell − exakt in Prozentpunkten, auf eine Nachkommastelle (Betrag) Prozentpunkte
Der Unterschied beträgt nur rund 0,2 Prozentpunkte: Bei 5 aus 200 ist die Bernoulli-Kette eine gute Näherung.
A8
Situation und Urteil
AFB II

Verbinde jede Situation mit dem passenden Urteil.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Nur wer die verletzte Bedingung benennt, begründet vollständig.
A9
Fehlersuche in der Begründung
AFB III

Aufgabe: „Aus einer Lieferung von 60 Eiern (6 davon angeknackst) werden 10 entnommen.“ Drei Sätze sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
„Stichprobe klein gegenüber der Gesamtheit“ heißt: ein sehr kleiner Bruchteil, z. B. 30 von 10 000 — nicht 10 von 60.
A10
Wie gut ist die Näherung?
AFB III

Es wird ohne Zurücklegen gezogen. Schätze, wie gut das Bernoulli-Modell passt.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unbrauchbar, 2 = schlecht, 3 = mittel, 4 = gut, 5 = sehr gut. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = unbrauchbar5 = sehr gut
3 aus 6
5 aus 1 000 000
10 aus 40
20 aus 2000
10 aus 100
Maßstab ist der Anteil der Stichprobe an der Gesamtheit: 50 % (unbrauchbar), 25 %, 10 %, 1 %, praktisch 0 %. Je kleiner der Anteil, desto weniger ändert sich p.