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Abituraufgaben: Passt die Bernoulli-Kette?

Zwei Aufgaben im Abiturformat: Modellannahmen prüfen, begründen und kritisieren.

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Blumenzwiebeln im Gartencenter

AFB I–II

Ein Gartencenter verkauft Tulpenzwiebeln in Netzen zu 12 Stück. Laut Züchter blühen 85 % aller Zwiebeln. Die Zwiebeln stammen aus einer Lieferung von mehreren Tausend Stück und werden zufällig in die Netze gefüllt. \(X\) sei die Anzahl der blühenden Zwiebeln in einem Netz.

  1. Nennen Sie die Bedingungen, unter denen \(X\) als binomialverteilt angenommen werden darf.
  2. Begründen Sie, dass diese Bedingungen hier näherungsweise erfüllt sind.
  3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle 12 Zwiebeln eines Netzes blühen.
  4. Untersuchen Sie, ob das Modell auch für ein Netz passt, das aus einer Restkiste mit 20 Zwiebeln (davon 17 blühfähig) gefüllt wird.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zwei Ergebnisse, Länge, \(p\), Unabhängigkeit.
Hinweis zu Aufgabe b)
Wie groß ist das Netz im Vergleich zur Lieferung?
Hinweis zu Aufgabe c)
Nur ein Pfad.
Hinweis zu Aufgabe d)
Vergleichen Sie \(p\) beim ersten und beim zwölften Zug.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Jede Zwiebel blüht oder blüht nicht; die Anzahl \(n=12\) steht fest; jede Zwiebel blüht mit derselben Wahrscheinlichkeit \(p\), unabhängig von den anderen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die 12 Zwiebeln werden zwar ohne Zurücklegen entnommen, die Lieferung umfasst aber Tausende Zwiebeln. \(p\) ändert sich dadurch praktisch nicht; dass eine Zwiebel blüht, hängt nicht von den anderen ab.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P(X=12)=0{,}85^{12}\approx0{,}1422\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Aus 20 Zwiebeln werden 12 gezogen — mehr als die Hälfte. Nach jedem Zug ändert sich \(p\) deutlich (z. B. \(\tfrac{17}{20}\to\tfrac{16}{19}\) oder \(\tfrac{17}{19}\)); außerdem können höchstens 3 nicht blühen. Das Modell der Bernoulli-Kette ist hier ungeeignet.

2

Basketball-Training

AFB II–III

Ein Trainer notiert, dass eine Spielerin im Training 72 % ihrer Dreipunktwürfe verwandelt. Für die nächste Einheit sagt er voraus: „Bei 25 Würfen trifft sie genau 18-mal mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 18 %.“ Die Spielerin wendet ein, dass sie gegen Ende eines Trainings müde wird und schlechter trifft.

  1. Bestätigen Sie die Vorhersage des Trainers unter der Annahme einer Bernoulli-Kette.
  2. Erläutern Sie den Einwand der Spielerin mit Blick auf die Modellannahmen.
  3. Entwickeln Sie einen Vorschlag, wie die Trainingsdaten gesammelt werden sollten, damit das Modell besser passt.
  4. Nehmen Sie Stellung zu der Aussage: „Weil die Prognose nur 18 % beträgt, ist die Binomialverteilung hier ungeeignet.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(n=25\), \(p=0{,}72\), \(k=18\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Welche Annahme über \(p\) wird verletzt?
Hinweis zu Aufgabe c)
Wie kann man erreichen, dass \(p\) konstant bleibt?
Hinweis zu Aufgabe d)
Was sagt eine kleine Einzelwahrscheinlichkeit über die Eignung eines Modells?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(X=18)=\binom{25}{18}\cdot0{,}72^{18}\cdot0{,}28^{7}\approx0{,}1754\approx18\,\%\). Die Vorhersage stimmt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Bernoulli-Kette verlangt, dass \(p\) in jeder Stufe gleich ist. Wird die Spielerin müde, sinkt \(p\) gegen Ende — die Würfe sind nicht mehr gleichartig, das Modell trifft nicht exakt zu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Z. B. Würfe mit Pausen verteilen, nur ausgeruht werfen oder die Serie in kurze Blöcke teilen und \(p\) für den relevanten Teil (etwa Trainingsende) getrennt bestimmen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Aussage ist falsch: Bei 26 möglichen Trefferzahlen ist selbst die wahrscheinlichste Zahl nicht sehr wahrscheinlich. Eine kleine Einzelwahrscheinlichkeit sagt nichts über die Eignung; entscheidend sind die Modellannahmen (hier: Ermüdung).