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Übungen: Die Bernoulli-Formel

Zehn Übungen zu Binomialkoeffizient, Trefferfaktor und Nietenfaktor.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung.

A1
Was steckt im Term?
AFB I

Betrachte P(X = 3) = (7 über 3) · 0,4³ · 0,6⁴. Markiere alle zutreffenden Aussagen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
0,6⁴ gehört zu den vier Nieten. Der Binomialkoeffizient ist eine Anzahl (hier 35), keine Wahrscheinlichkeit.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Aussagen zu Binomialkoeffizient und Formel.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Die Exponenten k und n − k ergeben zusammen n; (n über k) = (n über n − k).
A3
Die Formel in Worten
AFB I

Ergänze die Deutung der Bernoulli-Formel — zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

P(X = k) ist die der Pfade mit genau k Treffern mal die Wahrscheinlichkeit solchen Pfades. Die Anzahl gibt der an. Jeder dieser Pfade enthält k-mal den Faktor und (n − k)-mal den Faktor .

n · p ist der Erwartungswert — er kommt in der Formel nicht vor. „Summe“ passt nicht: Die gleichen Summanden werden zu einem Produkt zusammengefasst.
A4
Welcher Term gehört zu welchem Ereignis?
AFB I

Kette mit n = 5 und p = 0,3. Ordne jeden Term dem passenden Ereignis zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1genau 2 Treffer
2genau 3 Treffer
3nur ein Pfad
(5 über 2) = (5 über 3) = 10 — der Binomialkoeffizient allein verrät k nicht, erst die Exponenten. 0,3087 ist der Wert von P(X = 2).
A5
Genau zwei von sechs
AFB II

Ein Tetraeder-Würfel (p = 0,25 für die 4) wird 6-mal geworfen. Berechne P(X = 2) mit der Bernoulli-Formel (vier Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
(6 über 2) = 15; 0,25² = 0,0625; 0,75⁴ ≈ 0,3164. 15 · 0,0625 · 0,3164 ≈ 0,2966. Ohne den Faktor 15 käme 0,0198 heraus — nur ein einziger Pfad.
A6
Die Formel anwenden
AFB II

Bringe die Rechenschritte für P(X = 3) bei n = 9, p = 1/3 in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1n = 9, p = 1/3, k = 3 festhalten
2Binomialkoeffizient (9 über 3) = 84 bestimmen
3Trefferfaktor (1/3)³ aufschreiben
4Nietenfaktor (2/3)⁶ aufschreiben
5Alles multiplizieren: 84 · (1/3)³ · (2/3)⁶
6Ergebnis ≈ 0,2731 runden und im Kontext deuten
Die Reihenfolge der drei Faktoren ist beliebig — aber erst müssen n, p und k sicher feststehen.
A7
Sonderzettel im Glückskeks
AFB II

In einer Glückskeks-Fabrik enthält jeder zehnte Keks einen Sonderzettel. Eine Packung hat 8 Kekse.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. (8 über 1)
  2. Wahrscheinlichkeit eines Pfads mit genau einem Sonderzettel (vier Nachkommastellen)
  3. P(X = 1) (vier Nachkommastellen)
  4. P(X = 0) (vier Nachkommastellen)
Pfad: 0,1 · 0,9⁷ ≈ 0,0478; acht solcher Pfade ergeben 0,3826. Kein Sonderzettel: 0,9⁸ ≈ 0,4305 — die wahrscheinlichste Trefferzahl ist hier 0.
A8
Binomialkoeffizienten
AFB II

Verbinde jeden Binomialkoeffizienten mit seinem Wert.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Tipp: (12 über 9) = (12 über 3) = 12 · 11 · 10 : 6 = 220 — mit dem kleineren k rechnet es sich leichter.
A9
Fehlersuche: 12 Samen, p = 0,6
AFB III

Berechnung von P(X = 9) — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Anzahl mal Pfadwahrscheinlichkeit — eine Summe aus Anzahl und Wahrscheinlichkeit ergibt keinen Sinn.
A10
Wie viele Pfade?
AFB III

Schätze die Größe des Binomialkoeffizienten ein, ohne ihn auszurechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = genau 1, 2 = 2 bis 10, 3 = 11 bis 100, 4 = 101 bis 1000, 5 = über 1000. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = genau 15 = über 1000
(20 über 20)
(15 über 2)
(5 über 2)
(12 über 6)
(20 über 10)
(20 über 20) = 1; (5 über 2) = 10; (15 über 2) = 105 — knapp über 100!; (12 über 6) = 924; (20 über 10) = 184 756. In der Mitte (k ≈ n/2) wird der Binomialkoeffizient am größten.