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Abituraufgaben: Die Bernoulli-Formel

Zwei Aufgaben im Abiturformat: die Faktoren der Bernoulli-Formel deuten und nutzen.

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1

Sammelkarten im Müsli

AFB I–II

Ein Hersteller legt in jede fünfte Müslipackung eine Glitzer-Sammelkarte. Lina kauft im Laufe eines Monats 10 Packungen, die zufällig aus der laufenden Produktion stammen. \(X\) sei die Anzahl der Glitzerkarten.

  1. Erläutern Sie die Bedeutung der drei Faktoren im Term \(\binom{10}{3}\cdot0{,}2^3\cdot0{,}8^7\) im Sachzusammenhang.
  2. Berechnen Sie \(P(X=3)\).
  3. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau die ersten drei gekauften Packungen eine Glitzerkarte enthalten.
  4. Vergleichen Sie die Ergebnisse aus b) und c) und erklären Sie den Unterschied.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Anzahl der Pfade, Treffer, Nieten.
Hinweis zu Aufgabe b)
Formel oder Bpd.
Hinweis zu Aufgabe c)
Nur ein bestimmter Pfad.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wie viele Pfade gibt es mit drei Treffern?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\binom{10}{3}=120\): so viele Möglichkeiten, die drei Packungen mit Glitzerkarte unter den zehn auszuwählen. \(0{,}2^3\): drei Packungen mit Glitzerkarte. \(0{,}8^7\): die übrigen sieben ohne.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(X=3)=120\cdot0{,}008\cdot0{,}8^7\approx0{,}2013\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P(TTTNNNNNNN)=0{,}2^3\cdot0{,}8^7\approx0{,}0017\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

b) ist genau 120-mal so groß wie c): In b) zählen alle 120 Anordnungen der drei Glitzerkarten, in c) nur eine einzige.

2

Ein Spiel mit drei Würfeln

AFB II–III

Bei einem Spiel werden drei faire Würfel gleichzeitig geworfen. Ein Treffer ist eine gewürfelte Sechs. Man gewinnt, wenn mindestens zwei Sechsen fallen. Lukas behauptet: „Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist \(3\cdot\left(\tfrac16\right)^2=\tfrac1{12}\).“

  1. Zeigen Sie, dass \(P(X=2)=\tfrac{15}{216}\) gilt.
  2. Ermitteln Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit.
  3. Widerlegen Sie Lukas’ Behauptung und benennen Sie seine beiden Fehler.
  4. Untersuchen Sie, wie sich die Gewinnwahrscheinlichkeit ändert, wenn mit vier Würfeln gespielt wird und weiterhin mindestens zwei Sechsen nötig sind.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(\binom32=3\), Nietenfaktor nicht vergessen.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(P(X\ge2)=P(X=2)+P(X=3)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Welcher Faktor fehlt, welcher Fall fehlt?
Hinweis zu Aufgabe d)
\(P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1)\) mit \(n=4\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(X=2)=\binom32\cdot\left(\tfrac16\right)^2\cdot\tfrac56=3\cdot\tfrac1{36}\cdot\tfrac56=\tfrac{15}{216}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(X=3)=\tfrac1{216}\), also \(P(X\ge2)=\tfrac{16}{216}=\tfrac2{27}\approx0{,}0741\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\tfrac1{12}=\tfrac{18}{216}\ne\tfrac{16}{216}\). Lukas vergisst den Nietenfaktor \(\tfrac56\) und berücksichtigt den Fall mit drei Sechsen nicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(P(X=0)=\left(\tfrac56\right)^4\approx0{,}4823\), \(P(X=1)=4\cdot\tfrac16\cdot\left(\tfrac56\right)^3\approx0{,}3858\); \(P(X\ge2)\approx1-0{,}8681=0{,}1319\). Die Gewinnwahrscheinlichkeit steigt deutlich, etwa auf das 1,8-Fache.