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Abituraufgaben: Stichproben beurteilen

Zwei Aufgaben im Abiturformat: Verträglichkeit prüfen und die Entscheidung bewerten.

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1

Eissorte des Sommers

AFB I–II

Eine Eisdiele behauptet, dass 35 % ihrer Kundschaft die Sorte „Mango“ wählen. Eine Schülerzeitung beobachtet an einem Samstag 200 zufällig ausgewählte Bestellungen; 83 davon sind Mango.

  1. Geben Sie ein geeignetes Modell für die Anzahl \(X\) der Mango-Bestellungen an.
  2. Bestimmen Sie das 95 %-Prognoseintervall zu \(p=0{,}35\).
  3. Entscheiden Sie, ob das Beobachtungsergebnis mit der Behauptung verträglich ist.
  4. Erläutern Sie, warum man trotz Ihrer Entscheidung aus c) nicht sicher sagen kann, dass die Behauptung zutrifft.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Binomialverteilung mit \(n\) und \(p\) angeben; Annahmen nennen.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\mu=70\); Grenzen mit Bcd prüfen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Liegt 83 im Intervall?
Hinweis zu Aufgabe d)
Welche anderen \(p\) wären auch verträglich?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(X\) binomialverteilt mit \(n=200\), \(p=0{,}35\); Annahme: Die Kundschaft entscheidet unabhängig, die Stichprobe ist klein gegenüber allen Kunden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(58\le X\le82)\approx0{,}9365\), \(P(57\le X\le83)\approx0{,}955\) ⇒ \([57;\,83]\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

83 ist die obere Grenze und gehört zum Intervall: verträglich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Das Ergebnis widerspricht der Behauptung nicht, liegt aber am Rand. Auch z. B. \(p=0{,}4\) wäre mit 83 verträglich. Außerdem kann ein einzelner Samstag untypisch sein.

2

Ein Tetraeder-Würfel unter Verdacht

AFB II–III

Ein Spieleverlag stellt Tetraeder-Würfel her. Bei einem fairen Tetraeder liegt jede der vier Zahlen mit Wahrscheinlichkeit 0,25 unten. Ein Kunde reklamiert: „Die 4 kommt viel zu selten.“ Der Verlag würfelt 120-mal mit dem reklamierten Tetraeder und erhält 19-mal die 4.

  1. Ermitteln Sie das 95 %-Prognoseintervall für die Anzahl der Vieren bei einem fairen Tetraeder.
  2. Beurteilen Sie die Reklamation des Kunden auf Grundlage des Versuchs.
  3. Untersuchen Sie, ob das Ergebnis auch bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 90 % zur selben Entscheidung führt.
  4. Nehmen Sie Stellung zum Vorschlag des Verlags, bei nicht verträglichem Ergebnis sofort die ganze Produktion zu stoppen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(\mu=30\); Werte für \(c=8\) und \(c=9\) vergleichen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Liegt 19 im Intervall?
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleichen Sie die Werte für \(c=7\) und \(c=8\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Wie wahrscheinlich ist ein Fehlalarm, auch wenn die Würfel fair sind?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(22\le X\le38)\approx0{,}928\), \(P(21\le X\le39)\approx0{,}956\) ⇒ \([21;\,39]\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

19 liegt unterhalb des Intervalls: nicht verträglich mit \(p=0{,}25\). Die Reklamation ist berechtigt — die 4 kommt vermutlich seltener.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P(23\le X\le37)\approx0{,}887<0{,}9\), \(P(22\le X\le38)\approx0{,}928\) ⇒ 90 %-Intervall \([22;\,38]\). 19 liegt auch hier außerhalb — gleiche Entscheidung. Das 90 %-Intervall ist schmaler, eine Abweichung fällt eher auf.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Auch ein fairer Würfel liefert in bis zu 5 % der Versuche ein nicht verträgliches Ergebnis. Ein einzelner Test an einem Würfel rechtfertigt keinen Produktionsstopp; sinnvoll ist, mehrere Würfel zu prüfen und die Ursache (z. B. Gewichtsverteilung) zu untersuchen.