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Übungen: Die Bernoulli-Kette

Zehn Übungen vom Tetraeder bis zum Rubbellos — erst Treffer festlegen, dann Pfade rechnen.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung.

A1
Welche sind Bernoulli-Experimente?
AFB I

Markiere alle Experimente, die (mit der angegebenen Auswertung) genau zwei Ergebnisse haben.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Entscheidend ist die Auswertung: Die Augensumme hat 11 mögliche Werte, die Kartenfarbe vier. Erst eine Zusammenfassung wie „Herz oder nicht Herz“ macht daraus ein Bernoulli-Experiment.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zu Bernoulli-Ketten — entscheide jeweils.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Bernoulli-Kette: n unabhängige Stufen, jede mit denselben Wahrscheinlichkeiten p und 1 − p; 2ⁿ Pfade.
A3
Fachbegriffe zur Kette
AFB I

Setze die Fachbegriffe ein — zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen heißt . Das gezählte Ergebnis nennt man , das andere . Wird das Experiment n-mal wiederholt und bleibt die gleich, entsteht eine Bernoulli-Kette der n.

„Stichprobe“ und „Mittelwert“ gehören zu anderen Themen. Die Länge n zählt die Durchführungen, nicht die Treffer.
A4
Wie groß ist p?
AFB I

Ordne jedes Experiment seiner Trefferwahrscheinlichkeit zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1p = 1/4
2p = 1/3
3p = 1/2
Beim Skatblatt ist jede vierte Karte Herz. Eine gerade Zahl beim Spielwürfel sind drei von sechs Seiten — also 1/2, nicht 1/3.
A5
Pfad berechnen
AFB II

Ein Elfmeterschütze trifft mit p = 0,75. Er schießt dreimal. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er erst beim dritten Schuss trifft (vier Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Erst beim dritten heißt: N, N, T. P = 0,25 · 0,25 · 0,75 = 0,046875 ≈ 0,0469. Typischer Fehler: 0,75 · 0,25² als „irgendein Treffer“ lesen und mit 3 multiplizieren.
A6
Vom Experiment zur Kette
AFB II

Bringe die Arbeitsschritte beim Modellieren in eine sinnvolle Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Festlegen, welches Ergebnis als Treffer zählt
2Trefferwahrscheinlichkeit p bestimmen
3Prüfen, ob p in jeder Stufe gleich bleibt
4Länge n der Kette angeben
5Gesuchten Pfad aufschreiben, z. B. TTN
6Pfadwahrscheinlichkeit mit der Pfadregel berechnen
Ohne festgelegten Treffer gibt es kein p. Erst wenn die Kettenbedingungen geprüft sind, darf mit der Pfadregel gerechnet werden.
A7
Drei Ampeln
AFB II

Auf dem Schulweg liegen drei Ampeln, jede ist beim Ankommen unabhängig mit p = 0,4 grün.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. P(alle drei grün)
  2. P(keine grün)
  3. P(genau die mittlere grün, die anderen rot)
  4. Anzahl der Pfade im Baumdiagramm Pfade
0,4³ = 0,064; 0,6³ = 0,216; N T N: 0,6 · 0,4 · 0,6 = 0,144. Drei Stufen ergeben 2³ = 8 Pfade.
A8
Pfad und Term
AFB II

Verbinde jeden Pfad einer Kette mit p = 0,2 mit seiner Wahrscheinlichkeit.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Nur die Anzahl der T und N entscheidet: jedes T liefert den Faktor 0,2, jedes N den Faktor 0,8. NTNT hat vier Stufen — der Term hat vier Faktoren.
A9
Fehlersuche im Heft
AFB III

Modellierung „Rubbellose, jedes fünfte gewinnt, 4 Lose“ — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
„Mindestens einer“ wird über das Gegenereignis „keiner“ berechnet. 4 · 0,2 wäre der Erwartungswert, keine Wahrscheinlichkeit.
A10
Wie wahrscheinlich ist der Pfad?
AFB III

Schätze ohne Rechnen ein, wie groß die Pfadwahrscheinlichkeit ist.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = fast 0 (unter 0,01), 2 = klein (0,01–0,1), 3 = mittel (0,1–0,3), 4 = groß (0,3–0,6), 5 = sehr groß (über 0,6). Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = fast 0 (unter 0,01)5 = sehr groß (über 0,6)
p = 0,9, Pfad TT
p = 0,5, Pfad TNT
p = 0,1, Pfad TTT
p = 0,7, Pfad TT
p = 0,2, Pfad NTT
TT bei 0,9: 0,81. TT bei 0,7: 0,49. TNT bei 0,5: 0,125. NTT bei 0,2: 0,8 · 0,04 = 0,032. TTT bei 0,1: 0,001 — kleine p machen Pfade mit vielen Treffern sehr unwahrscheinlich.