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Abituraufgaben: Die Bernoulli-Kette

Zwei Aufgaben im Abiturformat zum Modellieren mit Bernoulli-Ketten.

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1

Rubbellose auf dem Schulfest

AFB I–II

Beim Schulfest werden Rubbellose verkauft. Laut Veranstalter gewinnt jedes fünfte Los. Mia kauft nacheinander vier Lose. Es wird angenommen, dass die Lose unabhängig voneinander gewinnen.

  1. Geben Sie die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) und die Länge \(n\) der Bernoulli-Kette an.
  2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nur das erste Los gewinnt.
  3. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Mia mindestens einen Gewinn erhält.
  4. Erläutern Sie, warum die Wahrscheinlichkeit aus b) kleiner ist als die Wahrscheinlichkeit für „genau ein Gewinn“.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
„Jedes fünfte“ entspricht einem Anteil.
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Pfad lautet \(TNNN\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Nutzen Sie das Gegenereignis „kein Gewinn“.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wie viele Pfade enthalten genau einen Treffer?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Treffer: Das Los gewinnt, \(p=0{,}2\), \(n=4\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(TNNN)=0{,}2\cdot0{,}8^3=0{,}1024\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P(\text{mind. ein Gewinn})=1-0{,}8^4=1-0{,}4096=0{,}5904\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

„Genau ein Gewinn“ umfasst vier Pfade (\(TNNN\), \(NTNN\), \(NNTN\), \(NNNT\)) mit je \(0{,}1024\), zusammen \(0{,}4096\). „Nur das erste“ ist davon genau ein Pfad — deshalb viermal kleiner.

2

Displays in der Endkontrolle

AFB II–III

Ein Hersteller von Smartphone-Displays gibt an, dass 2 % seiner Displays einen Pixelfehler haben. In der Endkontrolle werden Displays nacheinander vom laufenden Band genommen und geprüft. Die Produktion umfasst täglich mehrere Zehntausend Displays.

  1. Begründen Sie, dass das Prüfen von 10 Displays näherungsweise als Bernoulli-Kette modelliert werden kann.
  2. Bestätigen Sie, dass unter 10 geprüften Displays mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 82 % keines einen Pixelfehler hat.
  3. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass erst das 10. geprüfte Display den ersten Pixelfehler zeigt.
  4. Beurteilen Sie die Aussage eines Prüfers: „Bei 50 Displays ist fast sicher eins mit Pixelfehler dabei.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Prüfen Sie die drei Bedingungen: zwei Ergebnisse, feste Länge, gleichbleibendes \(p\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Nur ein Pfad: zehnmal Niete.
Hinweis zu Aufgabe c)
Neun Nieten, dann ein Treffer — in dieser Reihenfolge.
Hinweis zu Aufgabe d)
Berechnen Sie \(P(\text{mind. ein Fehler})\) für \(n=50\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Jedes Display hat einen Pixelfehler oder nicht (zwei Ergebnisse), \(n=10\) steht fest. Es wird zwar ohne Zurücklegen entnommen, bei Zehntausenden Displays ändert sich \(p=0{,}02\) dadurch aber praktisch nicht; die Fehler entstehen unabhängig. Das Modell ist eine gute Näherung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0{,}98^{10}\approx0{,}8171\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(0{,}98^9\cdot0{,}02\approx0{,}8337\cdot0{,}02\approx0{,}0167\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(1-0{,}98^{50}\approx1-0{,}3642=0{,}6358\). Mit rund 36 % Wahrscheinlichkeit ist kein fehlerhaftes Display dabei — „fast sicher“ ist deutlich übertrieben.