Treffer oder Niete
Viele Zufallsexperimente haben mehr als zwei Ergebnisse. Für die Binomialverteilung zählt nur: Ist das Gewünschte eingetreten oder nicht?
- Bernoulli-Experiment:Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen: Treffer \(T\) und Niete \(N\).
- Trefferwahrsch.:\(p=P(T)\), die Niete hat die Wahrscheinlichkeit \(1-p\).
- Zusammenfassen:Bei mehr Ergebnissen legt man fest, welche als Treffer zählen — z. B. „rot oder gelb“.
Wähle am Glücksrad die Treffer-Felder (anklicken oder mit Tab und Enter). Lass das Rad dann über den Boden abrollen und schiebe die Treffer auf dem Streifen zusammen.
Halte fest: Abgerollt wird der Rand des Rades zu einem Streifen der Länge 1. Der Anteil der Treffer-Felder daran ist die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\), der Rest ist \(1-p\).
Die Kette aus n Stufen
Wiederholt man dasselbe Bernoulli-Experiment mehrmals, entsteht eine Kette. Entscheidend ist, dass jede Stufe die gleichen Bedingungen hat.
- Länge n:Das Bernoulli-Experiment wird \(n\)-mal durchgeführt.
- Unabhängig:Ein Ergebnis beeinflusst die folgenden nicht — \(p\) bleibt in jeder Stufe gleich.
- Baumdiagramm:Jede Stufe hat die Äste \(T\) mit \(p\) und \(N\) mit \(1-p\); insgesamt \(2^n\) Pfade.
- Pfadregel:z. B. \(P(TNT)=p\cdot(1-p)\cdot p\).
- Beispiel:Würfel dreimal, Treffer „Sechs“: \(n=3\), \(p=\tfrac16\), \(P(TTT)=\left(\tfrac16\right)^3\approx0{,}005\).
Bernoulli-Kette: \(n\) unabhängige Durchführungen eines Bernoulli-Experiments mit gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).
Allgemeine Hinweise
Treffer ist nur ein Name
„Treffer“ muss nichts Gutes sein. Zählst du defekte Teile, ist „defekt“ der Treffer.
p muss gleich bleiben
Ziehst du ohne Zurücklegen, ändert sich \(p\) von Zug zu Zug — dann ist es keine Bernoulli-Kette.
Gegenwahrscheinlichkeit
Die Niete hat immer \(1-p\). Bei \(p=0{,}3\) gehört zu jedem \(N\)-Ast die \(0{,}7\).