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Übungen: Wahrscheinlichkeit im Abitur

Vierfeldertafel, Baumdiagramm, Erwartungswert — drei Werkzeuge, mit denen fast jede Stochastikaufgabe beginnt.

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Übungsaufgaben

Zehn Aufgaben quer durch das Thema — vom schnellen Wiedererkennen (AFB I) bis zum begründeten Urteil (AFB III). Jede Übung meldet sofort zurück; wenn du hängst, helfen die zwei Tipps.

A1
Was folgt aus den Zahlen?
AFB I

Für zwei Ereignisse gilt P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 und P(A ∩ B) = 0,2. Gib alle richtigen Folgerungen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Unabhängig, weil 0,4 · 0,5 = 0,2. Unvereinbar hieße P(A ∩ B) = 0 — das ist etwas völlig anderes. PB(A) = 0,2 / 0,5 = 0,4, nicht 0,2.
Frage: Wie prüft man stochastische Unabhängigkeit?Warum? Vergleiche P(A) · P(B) mit P(A ∩ B).
Hilfe: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); PA(B) = P(A ∩ B) / P(A).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ordne jede als richtig oder falsch ein.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke: Die Verwechslung von PA(B) und PB(A) ist der häufigste Fehler in Stochastikklausuren — immer zuerst fragen: „Unter welcher Bedingung?“
Frage: Welcher Wert steht bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit im Nenner?Warum? Bedingung = Ereignis, auf das man sich beschränkt.
Hilfe: Denk an den Würfel: Was ist sein Erwartungswert?
A3
Zufallsgrößen beschreiben
AFB I

Beschreibe Zufallsgrößen mit den richtigen Fachbegriffen — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ordnet man jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu, erhält man eine . Die Tabelle aller Werte mit ihren Wahrscheinlichkeiten heißt . Der langfristig zu erwartende Mittelwert heißt . Ist der Erwartungswert des Gewinns null, nennt man das Spiel . Wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen, misst die .

Der Median gehört zur beschreibenden Statistik von Datenreihen — für Zufallsgrößen arbeitet man mit Erwartungswert und Standardabweichung.
Frage: Wie heißt der „langfristige Durchschnitt“?Warum? E(X) = Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit.
Hilfe: Fair heißt: Auf lange Sicht gewinnt niemand.
A4
Welche Wahrscheinlichkeit ist gemeint?
AFB I

A: „Eine Schülerin fährt mit dem Rad zur Schule“, B: „Sie kommt pünktlich“. Ordne jede Formulierung der passenden Wahrscheinlichkeit zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1P(A ∩ B)
2PA(B)
3PB(A)
Signalwörter für bedingte Wahrscheinlichkeiten: „von den …“, „unter den …“, „ausgewählt wird eine …“. Die Gruppe hinter diesen Wörtern ist die Bedingung.
Frage: Wird aus der ganzen Schule gewählt oder aus einer Teilgruppe?Warum? Eine Teilgruppe als Grundgesamtheit bedeutet bedingte Wahrscheinlichkeit.
Hilfe: „Von den Radfahrerinnen …“ → Bedingung A.
A5
Erwartungswert
AFB I

Eine Zufallsgröße X nimmt die Werte 0, 2 und 10 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,7; 0,25 und 0,05 an. Berechne E(X).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
E(X) = 0 · 0,7 + 2 · 0,25 + 10 · 0,05 = 0 + 0,5 + 0,5 = 1. Kontrolle: Die Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1.
Frage: Welche Produkte musst du addieren?Warum? Jeder Wert wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet.
Hilfe: 0 · 0,7 + 2 · 0,25 + 10 · 0,05.
A6
Vierfeldertafel ausfüllen
AFB II

Aus einem Sachtext soll eine bedingte Wahrscheinlichkeit bestimmt werden. Stelle das Vorgehen mit einer Vierfeldertafel in der richtigen Reihenfolge dar.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Ereignisse A und B festlegen und benennen
2Gegebene Wahrscheinlichkeiten in die Tafel eintragen
3Fehlende Randwerte über die Ergänzung zu 1 bestimmen
4Innere Felder über Zeilen- und Spaltensummen ergänzen
5Gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit als Quotient „Feld durch Randwert“ berechnen
Am häufigsten fehlt Schritt 1. Wer die Ereignisse nicht benennt, verwechselt später Zeilen und Spalten — und damit PA(B) mit PB(A).
Frage: Was muss klar sein, bevor du etwas einträgst?Warum? Ohne benannte Ereignisse weißt du nicht, wohin eine Zahl gehört.
Hilfe: Benennen → eintragen → Ränder → Inneres → Quotient.
A7
Zweimal ziehen ohne Zurücklegen
AFB II

In einer Urne liegen 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Ermittle die Wahrscheinlichkeiten (Brüche sind erlaubt).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. P(beide rot) =
  2. P(zwei verschiedene Farben) =
  3. P(mindestens eine rote) =
  4. P(2. Kugel rot | 1. Kugel rot) =
Beide rot: 4/10 · 3/9 = 2/15. Verschieden: zwei Pfade, 2 · 4/10 · 6/9 = 8/15. Mindestens eine rote über das Gegenereignis: 1 − 6/10 · 5/9 = 2/3. Die bedingte Wahrscheinlichkeit steht direkt am Ast: 3/9.
Frage: Wie ändert sich die Urne nach dem ersten Zug?Warum? Ohne Zurücklegen: im zweiten Zug nur noch 9 Kugeln.
Hilfe: „Mindestens eine“ → Gegenereignis „keine rote“ = beide blau.
A8
Zwei Würfe mit dem Würfel
AFB II

Ein fairer Würfel wird zweimal geworfen. Bestimme zu jedem Ereignis die Wahrscheinlichkeit.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Trick: „mindestens eine“ = 1 − „keine“ = 1 − 25/36 = 11/36. Und genau eine = mindestens eine minus zwei Sechsen = 10/36.
Frage: Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt?Warum? Zwei Würfe: 6 · 6 = 36 gleich wahrscheinliche Ergebnisse.
Hilfe: Keine Sechs: 5 · 5 = 25 Ergebnisse. Summe 7: (1,6), (2,5), … sechs Paare.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Einsatz 2 €, ein Würfel wird geworfen. Bei einer 6 gibt es 8 €, bei einer 5 gibt es 2 € zurück, sonst nichts. Überprüfe Pauls Auswertung des Gewinns G und markiere die drei falschen Zeilen.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Beim Gewinn zählt, was nach Abzug des Einsatzes übrig bleibt. Wer Auszahlung und Gewinn verwechselt, kommt bei der Fairness zu falschen Schlüssen.
Frage: Welche Augenzahlen führen zum Verlust des Einsatzes?Warum? Alles außer 5 und 6.
Hilfe: Setze in der letzten Zeile den neuen Gewinn 7 € ein und prüfe, ob E(G) = 0 wird.
A10
Wie ändert sich der erwartete Gewinn?
AFB III

Ausgangsspiel: Einsatz 1 €, ein Würfel, bei einer 6 werden 6 € ausgezahlt — das Spiel ist fair, E(G) = 0. Beurteile ohne ausführliche Rechnung, welchen Erwartungswert der Gewinn nach der Änderung hat.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = E(G) = −1 €, 2 = E(G) = −0,50 €, 3 = E(G) = 0 €, 4 = E(G) = +0,50 €, 5 = E(G) = +1 €. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = E(G) = −1 €5 = E(G) = +1 €
Der Einsatz steigt auf 1,50 €.
Die Auszahlung steigt auf 9 €.
Einsatz und Auszahlung werden verdoppelt.
Ausgezahlt wird schon bei 5 oder 6.
Der Einsatz steigt auf 2 €.
Der Einsatz wirkt immer voll, die Auszahlung nur mit ihrer Wahrscheinlichkeit: 3 € mehr Auszahlung bei p = 1/6 sind nur 0,50 € mehr Erwartungswert. Doppelte Gewinnchance verdoppelt dagegen die erwartete Auszahlung.
Frage: Wie viel wird im Mittel ausgezahlt?Warum? Erwartete Auszahlung = Auszahlung · Gewinnwahrscheinlichkeit.
Hilfe: E(G) = erwartete Auszahlung − Einsatz.