Wie kommst du zur Schule?
AFB I–IIAn einem Gymnasium wurde erhoben, wie die Schülerinnen und Schüler zur Schule kommen. 60 % aller Befragten nutzen öffentliche Verkehrsmittel (Ereignis \(A\)). 25 % aller Befragten besuchen die Oberstufe (Ereignis \(O\)). Von den Oberstufenschülerinnen und -schülern nutzen 40 % öffentliche Verkehrsmittel.
- Erstellen Sie eine vollständige Vierfeldertafel zu dieser Situation.
- Eine Person, die öffentliche Verkehrsmittel nutzt, wird zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Oberstufe besucht.
- Untersuchen Sie, ob die Ereignisse \(A\) und \(O\) stochastisch unabhängig sind, und interpretieren Sie das Ergebnis.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P(O\cap A)=0{,}25\cdot0{,}4=0{,}1\); Rest über Summen:
| \(A\) | \(\overline A\) | Summe | |
|---|---|---|---|
| \(O\) | 0,10 | 0,15 | 0,25 |
| \(\overline O\) | 0,50 | 0,25 | 0,75 |
| Summe | 0,60 | 0,40 | 1 |
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P_A(O)=\frac{P(A\cap O)}{P(A)}=\frac{0{,}1}{0{,}6}=\frac16\approx 0{,}167\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(P(A)\cdot P(O)=0{,}6\cdot0{,}25=0{,}15\ne0{,}1=P(A\cap O)\): nicht unabhängig.
Deutung: Oberstufenschüler nutzen seltener öffentliche Verkehrsmittel (40 %) als der Durchschnitt (60 %) — vermutlich, weil viele mit dem Rad oder Auto kommen.
Der Losstand beim Schulfest
AFB II–IIIEine Klasse betreibt beim Schulfest einen Losstand. In einer Urne liegen 3 goldene und 7 weiße Kugeln. Für 1 € Einsatz zieht man zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen.
Bei zwei goldenen Kugeln werden 5 € ausgezahlt, bei genau einer goldenen Kugel bekommt man den Einsatz zurück, sonst nichts. Die Klasse rechnet mit 300 Spielen.
- Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gewinns \(G\) eines Spielers.
- Werten Sie die Verteilung aus: Berechnen Sie den Erwartungswert von \(G\) und die zu erwartende Einnahme der Klasse bei 300 Spielen.
- Ein Mitschüler schlägt vor, mit Zurücklegen zu ziehen, „damit es fairer wird und trotzdem genug Geld hereinkommt“. Beurteilen Sie den Vorschlag.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P(gg)=\frac{3}{10}\cdot\frac29=\frac1{15}\); \(P(\text{genau eine g})=\frac3{10}\cdot\frac79+\frac7{10}\cdot\frac39=\frac7{15}\); \(P(ww)=\frac7{10}\cdot\frac69=\frac7{15}\).
\(G\in\{4;\,0;\,-1\}\) mit \(P(G=4)=\frac1{15}\), \(P(G=0)=\frac7{15}\), \(P(G=-1)=\frac7{15}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(E(G)=4\cdot\frac1{15}+0\cdot\frac7{15}-1\cdot\frac7{15}=-\frac3{15}=-0{,}20\,€\).
Pro Spiel verdient die Klasse im Mittel 0,20 €, bei 300 Spielen also etwa 60 €.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Mit Zurücklegen: \(P(gg)=0{,}09\), \(P(\text{genau eine g})=0{,}42\), \(P(ww)=0{,}49\); \(E(G)=4\cdot0{,}09-0{,}49=-0{,}13\,€\).
Für die Spieler wird es tatsächlich fairer (Verlust 0,13 € statt 0,20 € pro Spiel), fair ist es aber nicht. Die Klasse nimmt bei 300 Spielen nur noch etwa 39 € statt 60 € ein. Ob der Vorschlag gut ist, hängt vom Ziel ab: mehr Spielspaß gegen weniger Einnahmen — beide Urteile sind mit dieser Begründung vollständig.