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Übungen: Raumanschauung im Abitur

Punkte, Vektoren, Geraden: Wer den Raum im Kopf sortiert, rechnet im Abitur doppelt so sicher.

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Übungsaufgaben

Zehn Aufgaben quer durch das Thema — vom schnellen Wiedererkennen (AFB I) bis zum begründeten Urteil (AFB III). Jede Übung meldet sofort zurück; wenn du hängst, helfen die zwei Tipps.

A1
Wo liegt der Punkt?
AFB I

Gegeben ist der Punkt P(3 | 0 | −2). Gib alle zutreffenden Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Auf einer Achse wären zwei Koordinaten null. Der Abstand zum Ursprung ist √(9 + 0 + 4) = √13 — nicht die Summe 3 + 0 − 2.
Frage: Welche Koordinate ist null — und was bedeutet das?Warum? Ist eine Koordinate null, liegt der Punkt in der Ebene der beiden anderen Achsen.
Hilfe: x₂ = 0 ⇒ x₁x₃-Ebene. Abstand: Wurzel aus der Summe der Quadrate.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Aussagen über Vektoren und Geraden. Ordne jede als richtig oder falsch ein.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke: Punkt + Richtung = Gerade. Parallelität erkennt man am Vielfachen, nicht an gleichen Zahlen.
Frage: Wann sind zwei Vektoren parallel?Warum? Denke an Vielfache: Gibt es ein k mit v = k · u?
Hilfe: Betrag: √(x₁² + x₂² + x₃²).
A3
Bausteine einer Geraden
AFB I

Beschreibe den Aufbau einer Geradengleichung mit Fachbegriffen — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Eine Gerade g: x⃗ = p⃗ + r · u⃗ besteht aus dem p⃗, dem u⃗ und dem reellen r. Ob ein Punkt auf g liegt, prüft man mit der . Sind die Richtungsvektoren zweier Geraden Vielfache voneinander, sind die Geraden oder identisch.

Ein Normalenvektor steht senkrecht auf etwas — er beschreibt Ebenen, nicht Geraden.
Frage: Welcher Vektor führt zu einem Punkt, welcher gibt die Richtung an?Warum? p⃗ ist ein Ortsvektor, u⃗ eine Richtung.
Hilfe: Punktprobe: Punkt einsetzen und prüfen, ob alle drei Gleichungen dasselbe r liefern.
A4
Achse, Ebene oder Raum?
AFB I

Ordne jeden Punkt nach seiner Lage im Koordinatensystem zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1auf einer Koordinatenachse
2in einer Koordinatenebene (nicht auf einer Achse)
3weder noch
Zähle die Nullen: zwei Nullen → Achse, genau eine Null → Koordinatenebene, keine Null → irgendwo im Raum.
Frage: Wie viele Koordinaten sind null?Warum? Die Anzahl der Nullen entscheidet.
Hilfe: Zwei Nullen: Achse. Eine Null: Ebene.
A5
Abstand zweier Punkte
AFB I

Berechne den Abstand der Punkte A(1 | 2 | 3) und B(5 | −2 | 5).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
AB⃗ = (4 | −4 | 2), |AB⃗| = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6. Achtung beim Minus: −2 − 2 = −4, quadriert aber positiv.
Frage: Welchen Vektor musst du zuerst bilden?Warum? Abstand = Betrag des Verbindungsvektors.
Hilfe: AB⃗ = B − A, dann Wurzel aus der Summe der Quadrate.
A6
Parallelogramm ergänzen
AFB II

Zu A, B und C soll D so bestimmt werden, dass ABCD ein Parallelogramm ist. Stelle das Vorgehen in der richtigen Reihenfolge dar.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Skizze: Ecken A, B, C, D der Reihe nach gegen den Uhrzeigersinn
2Erkennen: Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel, also AD⃗ = BC⃗
3BC⃗ = C − B berechnen
4D = A + BC⃗ bestimmen
5Kontrolle: Diagonalen AC und BD haben denselben Mittelpunkt
Häufiger Fehler: D = A + CB⃗ — mit falscher Richtung landet D auf der anderen Seite. Die Skizze mit der Reihenfolge der Ecken verhindert das.
Frage: Welche Seite des Parallelogramms ist zu AD parallel und gleich lang?Warum? Im Parallelogramm ABCD liegt AD gegenüber von BC.
Hilfe: Vom Punkt A aus den Vektor BC⃗ abtragen.
A7
Mittelpunkt und Länge
AFB II

Gegeben sind A(2 | 1 | 0) und B(4 | 5 | 4). Ermittle den Mittelpunkt M der Strecke AB und ihre Länge.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. x₁-Koordinate von M:
  2. x₂-Koordinate von M:
  3. x₃-Koordinate von M:
  4. Länge der Strecke AB: LE
M = ½(A + B) = (3 | 3 | 2). AB⃗ = (2 | 4 | 4), |AB⃗| = √36 = 6. Kontrolle: |AM⃗| = 3 ist genau die Hälfte.
Frage: Wie berechnet man den Mittelpunkt?Warum? Mittelwert jeder Koordinate.
Hilfe: AB⃗ = (2 | 4 | 4); Betrag: √(4 + 16 + 16).
A8
Gerade und Gleichung
AFB II

Stelle gedanklich zu jeder Beschreibung die Geradengleichung auf und verbinde sie mit der passenden rechts.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Geht eine Gerade durch den Ursprung, entfällt der Stützvektor. Parallelen zu Achsen haben einen Einheitsvektor als Richtung.
Frage: Welche Geraden gehen durch den Ursprung?Warum? Ohne Stützvektor startet die Gerade im Ursprung.
Hilfe: Richtung von A nach B: B − A = (2 | 1 | 0).
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Eine Pyramide hat die Grundfläche ABCD mit A(4|0|0), B(4|4|0) und die Spitze S(2|2|5). Überprüfe Bens Notizen und markiere die drei falschen Zeilen.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 2 ist gemein: Das Ergebnis stimmt, der Rechenweg nicht. Im Abitur gibt es für so einen Weg keine volle Punktzahl.
Frage: Wie berechnet man den Betrag eines Vektors korrekt?Warum? Der richtige Wert kann auch mit falschem Weg entstehen.
Hilfe: Prüfe bei Q, ob es ein r gibt mit A + r · AB⃗ = Q.
A10
Was passiert mit dem Abstand?
AFB III

P ist ein Punkt mit dem Abstand d vom Ursprung. Beurteile ohne Rechnung, wie sich dieser Abstand bei den Veränderungen ändert.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = halbiert sich, 2 = bleibt gleich, 3 = verdoppelt sich, 4 = verdreifacht sich, 5 = vervierfacht sich. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = halbiert sich5 = vervierfacht sich
P wird an der x₁x₂-Ebene gespiegelt
Alle Koordinaten werden verdoppelt
Alle Koordinaten werden halbiert
Alle Koordinaten werden verdreifacht
Alle Koordinaten werden mit −4 multipliziert
Der Betrag reagiert auf einen Faktor k mit |k| — das Vorzeichen spielt keine Rolle, weil jede Koordinate quadriert wird. Spiegelungen ändern Abstände nie.
Frage: Was passiert mit einem Quadrat, wenn die Zahl negativ wird?Warum? |k · v⃗| = |k| · |v⃗|.
Hilfe: Spiegeln dreht nur ein Vorzeichen um — die Quadrate bleiben gleich.