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Abituraufgaben: Raumanschauung im Abitur

Ein Pyramidenzelt und zwei Drohnen — Koordinaten und Geraden im Raum.

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Ein Pyramidenzelt

AFB I–II

Ein Zelt hat die Form einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD der Seitenlänge 4 m. Die Spitze S befindet sich 3 m senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Im Koordinatensystem (1 LE = 1 m) liegt A im Ursprung, B auf der x₁-Achse und D auf der x₂-Achse; der Boden liegt in der x₁x₂-Ebene.

Das Zelt im Schrägbild
x₁x₂x₃ABCDSP
Die Kanten AS, BS, CS und DS sind Zeltstangen.
  1. Geben Sie die Koordinaten der Punkte B, C, D und S an.
  2. Berechnen Sie die Länge einer Zeltstange.
  3. An einer Stange wird eine Lampe im Punkt \(P(3\mid 3\mid 1{,}5)\) befestigt. Weisen Sie nach, dass P auf der Kante CS liegt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Der Mittelpunkt der Grundfläche liegt genau zwischen A und C.
Hinweis zu Aufgabe b)
Aus Symmetriegründen sind alle vier Stangen gleich lang; es genügt \(|\overrightarrow{AS}|\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Stellen Sie eine Gleichung der Geraden durch C und S auf und führen Sie eine Punktprobe durch. Achten Sie darauf, dass der Parameter zwischen 0 und 1 liegt.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(B(4\mid 0\mid 0)\), \(C(4\mid 4\mid 0)\), \(D(0\mid 4\mid 0)\), \(S(2\mid 2\mid 3)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\overrightarrow{AS}=\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}\), \(|\overrightarrow{AS}|=\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}\approx 4{,}12\,\text{m}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(g_{CS}:\ \vec x=\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\-2\\3\end{pmatrix}\).

Punktprobe: \(4-2t=3\), \(4-2t=3\), \(3t=1{,}5\) ⇒ jeweils \(t=0{,}5\). Da \(0\le t\le 1\), liegt P auf der Kante (genau in ihrer Mitte).

2

Zwei Drohnen über dem Sportplatz

AFB II–III

Bei einer Drohnenshow bewegen sich zwei Drohnen geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Die Position von Drohne 1 zum Zeitpunkt \(t\) (in Sekunden) ist \(\vec x_1(t)=\begin{pmatrix}0\\0\\10\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}\), die von Drohne 2 ist \(\vec x_2(t)=\begin{pmatrix}76\\6\\27{,}2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3\\2\\-0{,}6\end{pmatrix}\) (Angaben in Metern, Boden in der x₁x₂-Ebene).

Die Veranstalter schreiben vor, dass zwei Drohnen sich niemals näher als 10 m kommen dürfen.

Die Flugbahnen im Schrägbild
x₁x₂x₃ABK
Blau: Drohne 1, orange: Drohne 2. Die Bahnen kreuzen sich in K.
  1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit von Drohne 1 in m/s.
  2. Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen im Punkt \(K(40\mid 30\mid 20)\) schneiden, und untersuchen Sie, ob die Drohnen dort zusammenstoßen.
  3. Beurteilen Sie, ob die Vorschrift der Veranstalter eingehalten wird.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
In einer Sekunde legt die Drohne genau den Richtungsvektor zurück.
Hinweis zu Aufgabe b)
Bahnen schneiden sich, wenn es Parameter \(t\) und \(s\) mit \(\vec x_1(t)=\vec x_2(s)\) gibt. Ein Zusammenstoß erfordert zusätzlich \(t=s\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Stellen Sie den Abstand \(d(t)=|\vec x_1(t)-\vec x_2(t)|\) als Funktion auf und bestimmen Sie ihr Minimum mit dem GTR bzw. CAS (fMin bzw. G-Solv → MIN).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\left|\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{26}\approx 5{,}1\), die Drohne fliegt mit etwa 5,1 m/s.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Drohne 1: \(4t=40\Rightarrow t=10\), Probe: \(3\cdot10=30\), \(10+10=20\) ✓.

Drohne 2: \(76-3s=40\Rightarrow s=12\), Probe: \(6+24=30\), \(27{,}2-7{,}2=20\) ✓.

Beide Bahnen enthalten K, also schneiden sie sich. Drohne 1 ist nach 10 s, Drohne 2 erst nach 12 s in K — ein Zusammenstoß in K findet nicht statt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\vec x_1(t)-\vec x_2(t)=\begin{pmatrix}-76+7t\\-6+t\\-17{,}2+1{,}6t\end{pmatrix}\), \(d(t)=\sqrt{(7t-76)^2+(t-6)^2+(1{,}6t-17{,}2)^2}\).

GTR/CAS: Minimum bei \(t\approx 10{,}8\) mit \(d\approx 4{,}8\,\text{m}\).

Die Drohnen kommen sich auf etwa 4,8 m nahe — die Vorschrift (mindestens 10 m) wird verletzt, obwohl kein Zusammenstoß stattfindet. Eine der Drohnen muss früher oder später starten oder die Bahn geändert werden.