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Übungen: Maße und Lagen im Abitur

Längen, Winkel, rechte Winkel: Das Skalarprodukt ist das Werkzeug für fast alle Maßaufgaben.

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Übungsaufgaben

Zehn Aufgaben quer durch das Thema — vom schnellen Wiedererkennen (AFB I) bis zum begründeten Urteil (AFB III). Jede Übung meldet sofort zurück; wenn du hängst, helfen die zwei Tipps.

A1
Rund ums Skalarprodukt
AFB I

Nenne alle richtigen Aussagen über das Skalarprodukt.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Das Skalarprodukt ist eine Zahl. Negativ heißt stumpfer Winkel. Und Geraden schneiden sich immer unter höchstens 90° — bei 120° gibt man den Nebenwinkel 60° an.
Frage: Was für ein Objekt kommt beim Skalarprodukt heraus?Warum? Man multipliziert koordinatenweise und addiert.
Hilfe: Vorzeichen: positiv → spitz, null → rechtwinklig, negativ → stumpf.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Aussagen zu Winkeln und Abständen. Gib an, ob sie stimmen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke: Rechte Winkel prüft man mit dem Skalarprodukt, Längen mit dem Betrag — beides geht ohne Taschenrechner.
Frage: Welche Seiten eines Dreiecks treffen sich in der Ecke A?Warum? AB⃗ und AC⃗ starten beide in A.
Hilfe: Windschief = keine gemeinsamen Punkte und nicht parallel.
A3
Vom Skalarprodukt zum Winkel
AFB I

Erläutere die Winkelberechnung, indem du die Lücken füllst — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Das zweier Vektoren ist eine Zahl. Ist es null, stehen die Vektoren zueinander. Teilt man es durch das Produkt der , erhält man den des Zwischenwinkels. Ist das Skalarprodukt negativ, ist der Winkel .

Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor und gehört nicht zum Stoff des Grundkurses — für Winkel reicht das Skalarprodukt.
Frage: Welche Rechenoperation liefert eine Zahl, welche einen Vektor?Warum? Im Zähler der Winkelformel steht ein Produkt zweier Vektoren.
Hilfe: cos α = a⃗ · b⃗ / (|a⃗| · |b⃗|).
A4
Spitz, recht oder stumpf?
AFB I

Ordne jedes Vektorpaar nach dem eingeschlossenen Winkel zu — das Vorzeichen des Skalarprodukts genügt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1spitzer Winkel
2rechter Winkel
3stumpfer Winkel
Man muss keinen einzigen Winkel ausrechnen: Das Vorzeichen des Skalarprodukts entscheidet. Bei (−1|0|2)·(3|1|1) = −3 + 0 + 2 = −1 ist es knapp negativ.
Frage: Welches Vorzeichen hat das Skalarprodukt?Warum? Positiv → spitz, 0 → recht, negativ → stumpf.
Hilfe: Rechne nur x₁·y₁ + x₂·y₂ + x₃·y₃ aus.
A5
Winkel im Kopf
AFB I

Berechne den Winkel zwischen a⃗ = (1 | 1 | 0) und b⃗ = (0 | 1 | 1) in Grad.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
a⃗ · b⃗ = 1, |a⃗| = |b⃗| = √2, also cos α = 1/2 und α = 60°. Den Kosinus 1/2 sollte man als 60° wiedererkennen — dann braucht man keinen Rechner.
Frage: Wie groß ist das Skalarprodukt?Warum? 0 + 1 + 0 = 1; beide Beträge sind √2.
Hilfe: cos α = 1 / (√2 · √2) = 1/2.
A6
Schnittwinkel zweier Geraden
AFB II

Zwei sich schneidende Geraden sind gegeben. Stelle die Schritte zur Berechnung des Schnittwinkels in der richtigen Reihenfolge dar.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Richtungsvektoren u⃗ und v⃗ ablesen
2Skalarprodukt u⃗ · v⃗ berechnen
3Beträge |u⃗| und |v⃗| berechnen
4In cos α = |u⃗ · v⃗| / (|u⃗| · |v⃗|) einsetzen
5α mit dem GTR berechnen und als Winkel ≤ 90° angeben
Der Betrag im Zähler sorgt dafür, dass ein Schnittwinkel nie stumpf wird. Wer ihn vergisst, muss am Ende 180° − α rechnen.
Frage: Welche Vektoren bestimmen den Winkel zwischen Geraden?Warum? Stützvektoren spielen für den Winkel keine Rolle.
Hilfe: Erst Skalarprodukt und Beträge, dann einsetzen, dann arccos.
A7
Rechtwinkliges Dreieck
AFB II

Gegeben ist das Dreieck mit A(1 | 0 | 0), B(3 | 4 | 0) und C(1 | 0 | 5). Ermittle Schritt für Schritt seinen Flächeninhalt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. AB⃗ · AC⃗ =
  2. |AB⃗| (2 Nachkommastellen): LE
  3. |AC⃗| = LE
  4. Flächeninhalt (2 Nachkommastellen): FE
Weil AB⃗ · AC⃗ = 0 ist, ist das Dreieck bei A rechtwinklig — dann sind AB und AC Grundseite und Höhe: A = ½ · √20 · 5 ≈ 11,18 FE.
Frage: Welche Vektoren gehen von A aus?Warum? AB⃗ = (2 | 4 | 0), AC⃗ = (0 | 0 | 5).
Hilfe: Im rechtwinkligen Dreieck: Fläche = ½ · Kathete · Kathete.
A8
Größe und Formel
AFB II

Bestimme zu jeder gesuchten Größe die passende Formel.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Die beiden Kosinusformeln unterscheiden sich nur durch den Betrag im Zähler — genau der macht aus dem Vektorwinkel einen Geradenwinkel.
Frage: Worin unterscheiden sich die beiden Winkelformeln?Warum? Bei Geraden ist der Winkel höchstens 90°.
Hilfe: Der Betragsstrich im Zähler verhindert stumpfe Winkel.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Jana berechnet den Winkel zwischen a⃗ = (2 | −1 | 3) und b⃗ = (1 | 4 | 1). Überprüfe ihre Notizen und markiere die drei falschen Zeilen.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Das falsche Quadrat einer negativen Zahl (Zeile 2) ist der häufigste Rechenfehler bei Beträgen — Klammern setzen hilft: (−1)² = 1.
Frage: Was ergibt (−1)²?Warum? Quadrate sind nie negativ.
Hilfe: Positiv → spitz; Schnittwinkel von Geraden ≤ 90°.
A10
Was passiert mit dem Winkel?
AFB III

Die Vektoren a⃗ und b⃗ schließen den Winkel 60° ein. Beurteile ohne zu rechnen, welcher Winkel nach der Veränderung zwischen den beiden Vektoren liegt.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = 0°, 2 = 60°, 3 = 90°, 4 = 120°, 5 = 180°. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = 0°5 = 180°
a⃗ wird durch 2a⃗ ersetzt
a⃗ wird durch −a⃗ ersetzt
a⃗ durch −a⃗ und b⃗ durch −b⃗ ersetzt
b⃗ wird durch a⃗ ersetzt
b⃗ wird durch −2a⃗ ersetzt
Positive Faktoren ändern nur die Länge, nicht die Richtung. Ein Minuszeichen dreht einen Vektor um 180° — der Winkel wird zum Nebenwinkel. Zwei Minuszeichen heben sich auf.
Frage: Ändert ein positiver Faktor die Richtung eines Vektors?Warum? Nur negative Faktoren drehen die Richtung um.
Hilfe: −a⃗ und b⃗ schließen 180° − 60° ein.