Ein Sonnensegel
AFB I–IIÜber einer Terrasse wird ein dreieckiges Sonnensegel an drei Masten befestigt. Die Befestigungspunkte sind \(A(2\mid 1\mid 3)\), \(B(6\mid 1\mid 0)\) und \(C(2\mid 5\mid 3)\) (Angaben in Metern, Terrassenboden in der x₁x₂-Ebene). Der Punkt B ist ein Bodenanker, A und C sitzen oben an Masten.
- Weisen Sie nach, dass das Sonnensegel bei A einen rechten Winkel hat.
- Berechnen Sie den Flächeninhalt des Sonnensegels.
- Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den das Segel in der Ecke B einschließt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0+0+0=0\). Also ist der Winkel bei A ein rechter Winkel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+9}=5\), \(|\overrightarrow{AC}|=4\). \(A_{\text{Segel}}=\tfrac12\cdot5\cdot4=10\,\text{m}^2\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-4\\4\\3\end{pmatrix}\), \(\cos\beta=\frac{16+0+9}{5\cdot\sqrt{41}}=\frac{5}{\sqrt{41}}\Rightarrow \beta\approx 38{,}7^\circ\).
Seilbahn und Gleitschirm
AFB II–IIIDas Tragseil einer Seilbahn verläuft geradlinig von der Talstation \(T(0\mid 0\mid 0)\) zur Bergstation \(B(600\mid 800\mid 400)\) (Angaben in Metern, x₃ ist die Höhe). Die Kabine fährt mit 5 m/s.
Ein Gleitschirmflieger bewegt sich näherungsweise auf der Geraden \(h:\ \vec x=\begin{pmatrix}-100\\600\\310\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}10\\-5\\-2\end{pmatrix}\), \(t\) in Sekunden. Nach dem Flug erzählt er: „Als ich genau über dem Seil war, hatte ich 30 m Abstand zum Seil.“
- Ermitteln Sie den Winkel, unter dem das Seil gegen die Horizontale ansteigt, sowie die Fahrzeit einer Kabine von der Tal- zur Bergstation.
- Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Flugbahn und der Geraden durch T und B.
- Beurteilen Sie die Aussage des Gleitschirmfliegers.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\vec u=\begin{pmatrix}600\\800\\400\end{pmatrix}\), \(\vec w=\begin{pmatrix}600\\800\\0\end{pmatrix}\): \(\cos\alpha=\frac{1\,000\,000}{\sqrt{1\,160\,000}\cdot1000}\approx0{,}928\Rightarrow\alpha\approx21{,}8^\circ\).
Seillänge \(|\vec u|\approx1077\,\text{m}\), Fahrzeit \(\approx 215\,\text{s}\approx 3{,}6\,\text{min}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\((10\mid -5\mid -2)\) ist kein Vielfaches von \((6\mid 8\mid 4)\) → nicht parallel.
\(g:\ \vec x=r\begin{pmatrix}600\\800\\400\end{pmatrix}\). Aus \(600r=-100+10t\) und \(800r=600-5t\) folgt \(t=40\), \(r=0{,}5\). Probe x₃: \(400\cdot0{,}5=200\ne 310-80=230\).
Die Geraden sind windschief. Bei \(t=40\) befindet sich der Flieger in \(Q(300\mid 400\mid 230)\), senkrecht 30 m über dem Seilpunkt \((300\mid 400\mid 200)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\[d(r)=\sqrt{(600r-300)^2+(800r-400)^2+(400r-230)^2}\]Minimum bei \(r\approx0{,}510\) mit \(d\approx27{,}9\,\text{m}\).
Der Punkt Q ist vom Seil nur etwa 27,9 m entfernt, weil das Seil schräg ansteigt. Die Aussage ist also ungenau: 30 m ist der senkrechte Abstand, der tatsächliche Abstand war kleiner. Für eine volle Bewertung genügt diese Begründung; wer zusätzlich andere Zeitpunkte untersucht, findet einen noch etwas kleineren Abstand.