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Abituraufgaben: Operatoren und Zeitplanung

Zwei Aufgaben mit Bewertungseinheiten: Operator lesen, Zeit einteilen, vollständig darstellen.

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Temperatur im Gewächshaus (6 BE)

AFB I–II

An einem sonnigen Frühlingstag wird die Temperatur in einem Gewächshaus modelliert durch \(T(t)=-0{,}5t^2+6t+10\) mit \(t\) in Stunden nach 6 Uhr und \(T(t)\) in °C, \(0\le t\le12\). Die Bewertungseinheiten (BE) stehen hinter den Teilaufgaben.

Temperaturverlauf
t in hT in °C12345678910111248121620242832
t = 0 entspricht 6 Uhr.
  1. Geben Sie die Temperatur um 6 Uhr an. (1 BE)
  2. Berechnen Sie die höchste Temperatur und die Uhrzeit, zu der sie erreicht wird. (3 BE)
  3. Zeigen Sie, dass die Temperatur um 10 Uhr mit einer Rate von 2 °C pro Stunde steigt. (2 BE)

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
1 BE ≈ 3–4 Minuten: Hier genügt das Ergebnis.„Angeben“ verlangt keinen Rechenweg.
Hinweis zu Aufgabe b)
Notwendige Bedingung, Nachweis des Maximums und Antwortsatz mit Uhrzeit — drei Schritte für drei BE.
Hinweis zu Aufgabe c)
Das Ergebnis ist vorgegeben — gefragt ist der Weg. 10 Uhr entspricht \(t=4\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(T(0)=10\,^\circ\text{C}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(T'(t)=-t+6=0\Rightarrow t=6\); \(T''(t)=-1<0\) ⇒ Maximum. \(T(6)=-18+36+10=28\).

Um 12 Uhr ist es mit 28 °C am wärmsten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(T'(4)=-4+6=2\), also steigt die Temperatur um 10 Uhr mit 2 °C pro Stunde.

2

Verkaufszahlen eines Videospiels (12 BE)

AFB II–III

Die monatlichen Verkaufszahlen eines neuen Videospiels werden modelliert durch \(V(t)=200t\cdot e^{-0{,}25t}\) mit \(t\) in Monaten nach Erscheinen und \(V(t)\) in Tausend Exemplaren pro Monat.

Die Geschäftsleitung behauptet: „Die meisten Spiele pro Monat verkaufen wir nach vier Monaten.“ Außerdem plant sie: „In den ersten zwei Jahren verkaufen wir über drei Millionen Exemplare; danach lohnt sich kein Nachdruck mehr.“

Monatliche Verkaufszahlen
t in MonatenTsd./Monat481216202480160240320
Verkaufsrate im Modell.
  1. Interpretieren Sie den Wert \(V(2)\approx243\) sowie die Bedeutung von \(\int_0^{6}V(t)\,dt\) im Sachzusammenhang. (3 BE)
  2. Überprüfen Sie die erste Behauptung der Geschäftsleitung rechnerisch. (4 BE)
  3. Beurteilen Sie die Planung der Geschäftsleitung. (5 BE)

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Achten Sie auf die Einheiten: \(V\) ist eine Rate (pro Monat), das Integral ein Bestand.
Hinweis zu Aufgabe b)
Leiten Sie mit der Produktregel ab. Neben der notwendigen Bedingung gehört eine Begründung für das Maximum dazu (Vorzeichenwechsel oder GTR-Graph).
Hinweis zu Aufgabe c)
Zwei Aussagen, zwei Prüfungen: Berechnen Sie den Gesamtverkauf in 24 Monaten (GTR) und die Verkaufsrate nach 24 Monaten. Das Urteil muss sich auf beide Rechnungen stützen.5 BE ≈ 17 Minuten — genug Zeit für Rechnung und begründetes Urteil.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(V(2)\approx243\): Zwei Monate nach Erscheinen werden etwa 243 000 Exemplare pro Monat verkauft.

\(\int_0^6V(t)\,dt\) ist die Gesamtzahl (in Tausend) der im ersten halben Jahr verkauften Exemplare.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(V'(t)=200e^{-0{,}25t}+200t\cdot(-0{,}25)e^{-0{,}25t}=200e^{-0{,}25t}(1-0{,}25t)\).

\(V'(t)=0\Leftrightarrow t=4\) (da \(e^{-0{,}25t}>0\)); Vorzeichenwechsel von + nach −, also Maximum. \(V(4)\approx294\).

Die Behauptung stimmt: Nach 4 Monaten werden mit etwa 294 000 Exemplaren pro Monat die meisten verkauft.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\int_0^{24}V(t)\,dt\approx3144\): In zwei Jahren werden etwa 3,14 Mio. Exemplare verkauft — der erste Teil stimmt.

\(V(24)\approx11{,}9\): Auch nach zwei Jahren werden noch rund 12 000 Exemplare pro Monat verkauft. Ob sich ein Nachdruck lohnt, hängt von den Kosten ab; „lohnt sich nicht mehr“ ist mit dem Modell nicht eindeutig begründbar.

Urteil: erster Teil zutreffend, zweiter Teil zu pauschal. Das Modell sagt zudem nichts über Sonderaktionen oder Fortsetzungen aus.