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Übungsaufgaben
Zehn Aufgaben quer durch das Thema — vom schnellen Wiedererkennen (AFB I) bis zum begründeten Urteil (AFB III). Jede Übung meldet sofort zurück; wenn du hängst, helfen die zwei Tipps.
A1
Was steckt im Tiefpunkt?
AFB IDer Graph einer Funktion f hat den Tiefpunkt T(2|−1). Nenne alle Aussagen, die daraus folgen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Ein Extrempunkt liefert zwei Bedingungen: den Funktionswert f(2) = −1 und die waagerechte Tangente f′(2) = 0. f″(2) > 0 ist keine Gleichung fürs LGS, sondern die Probe hinterher. Wer die Koordinaten vertauscht (f(−1) = 2), rechnet mit einem ganz anderen Punkt.
Frage: Welche Koordinate ist die Stelle, welche der Funktionswert?Warum? Beim Punkt T(x|y) ist x die Stelle, an der du f, f′ oder f″ auswertest.
Hilfe: Ein Tiefpunkt heißt: Der Punkt liegt auf dem Graphen und die Tangente dort ist waagerecht.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Behauptungen rund um Steckbriefaufgaben. Gib jeweils an, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Merke: Zähle zuerst die Unbekannten im Ansatz, dann die Bedingungen. Erst wenn beide Zahlen passen, lohnt sich das Lösen.
Frage: Was unterscheidet einen Wendepunkt von einem Extrempunkt?Warum? Die Ableitung, die null wird, verrät die Art des Punktes.
Hilfe: Extrempunkt: f′ = 0. Wendepunkt: f″ = 0. Sattelpunkt: beides.
A3
Der rote Faden
AFB IBeschreibe das Vorgehen bei einer Steckbriefaufgabe mit Fachbegriffen — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Jede Information aus dem Text wird in eine übersetzt. Punkte auf dem Graphen liefern Aussagen über waagerechte Tangenten und Steigungen über die Wendestellen über die Alle Bedingungen zusammen ergeben ein lineares — das löst du mit dem GTR oder CAS
Das Integral braucht man bei Steckbriefaufgaben nur, wenn eine Fläche vorgegeben ist — für Punkte, Steigungen und Wendestellen genügen f, f′ und f″.
Frage: Welche Funktion „weiß“ etwas über Steigungen, welche über Krümmung?Warum? f gibt Höhen, f′ Steigungen, f″ Krümmungswechsel an.
Hilfe: Punkt → f, Steigung/Tangente → f′, Wendestelle → f″.
A4
Welche Ableitung ist gefragt?
AFB IJede Karte beschreibt eine Eigenschaft des Graphen von f. Ordne sie der Funktion zu, an die sie eine Bedingung stellt.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Bedingung an f
2Bedingung an f′
3Bedingung an f″
„Parallel zu einer Geraden“ ist eine Steigungsangabe (f′(0) = −2), kein Punkt. Und „Krümmungswechsel“ ist nur ein anderes Wort für Wendestelle.
Frage: Geht es um eine Höhe, eine Steigung oder die Krümmung?Warum? Tangenten und Parallelen sprechen über die Steigung.
Hilfe: Parallel heißt: gleiche Steigung. Krümmungswechsel heißt: Wendestelle.
A5
Parameter zählen
AFB IGesucht ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Bestimme, wie viele Parameter der Ansatz noch enthält.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Achsensymmetrie streicht x³ und x: f(x) = ax⁴ + bx² + c hat drei Parameter a, b, c — du brauchst also nur drei Bedingungen. Das spart eine Zeile im LGS.
Frage: Welche Potenzen dürfen bei Achsensymmetrie vorkommen?Warum? Nur gerade Potenzen bleiben bei f(−x) = f(x) unverändert.
Hilfe: Schreibe den vollen Ansatz ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e und streiche die ungeraden Potenzen.
A6
Fahrplan Steckbrief
AFB IIStelle den Lösungsweg einer Steckbriefaufgabe in der richtigen Reihenfolge dar.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Ansatz mit allgemeiner Funktionsgleichung notieren, f′ und f″ bilden
2Informationen aus dem Text in Bedingungen übersetzen
3Bedingungen einsetzen — es entsteht ein lineares Gleichungssystem
4LGS mit dem GTR bzw. CAS lösen, Funktionsgleichung angeben
5Probe: hinreichende Bedingung und Sachzusammenhang prüfen
Am häufigsten fehlt der letzte Schritt: Ein LGS kann eine Funktion liefern, die an der vermeintlichen Hochstelle in Wahrheit einen Sattelpunkt hat. Deshalb immer mit f″ oder dem Graphen prüfen.
Frage: Was brauchst du, bevor du überhaupt eine Bedingung einsetzen kannst?Warum? Ohne Ansatz und Ableitungen kannst du keine Gleichung aufschreiben.
Hilfe: Ansatz → Bedingungen → LGS → Lösung → Probe.
A7
Parabel durch drei Punkte
AFB IIEine Parabel f(x) = ax² + bx + c verläuft durch A(0|3), B(2|1) und C(4|7). Berechne die Parameter Schritt für Schritt.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- c =
- a =
- b =
- y-Koordinate des Scheitelpunkts:
A liefert sofort c = 3. Dann bleiben 4a + 2b = −2 und 16a + 4b = 4; das Doppelte der ersten Gleichung abziehen gibt 8a = 8. Mit f(x) = x² − 3x + 3 liegt der Scheitel bei x = 1,5 und f(1,5) = 0,75.
Frage: Welcher Punkt liefert einen Parameter ganz ohne Rechnung?Warum? Bei x = 0 fallen alle Terme mit a und b weg.
Hilfe: Setze B und C ein: 4a + 2b + 3 = 1 und 16a + 4b + 3 = 7. Scheitel: f′(x) = 0.
A8
Welcher Ansatz passt?
AFB IIOrdne jeder Beschreibung den kürzesten passenden Ansatz zu.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Jede Zusatzinformation, die man schon in den Ansatz steckt, spart eine Gleichung. Die Nullstellenform a(x − 1)(x − 5) hat nur noch einen Parameter.
Frage: Welche Information kann man direkt in den Ansatz einbauen?Warum? Symmetrie, Nullstellen und „durch den Ursprung“ lassen Terme wegfallen.
Hilfe: Durch den Ursprung heißt f(0) = 0, also fällt das absolute Glied d weg.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB IIGesucht ist f dritten Grades mit Hochpunkt H(0|4) und Wendepunkt W(1|2). Überprüfe Lisas Lösung und markiere die drei falschen Zeilen.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der häufigste Fehler im Abitur: Ein Punkt mit Zusatzeigenschaft liefert zwei Bedingungen — und bei Wendepunkten wird f″ statt f′ gebraucht.
Frage: Wie viele Bedingungen stecken in „Hochpunkt H(0|4)“?Warum? Ein Hochpunkt ist ein Punkt mit einer Zusatzeigenschaft.
Hilfe: Zeile 2, 3 und die Division in Zeile 6 genau ansehen: −2a = −2 durch −2 teilen.
A10
Wie viel steckt in der Angabe?
AFB IIIWie viele Gleichungen liefert jede Angabe über den Graphen? Beurteile ohne zu rechnen.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = 1 Bedingung, 2 = 2 Bedingungen, 3 = 3 Bedingungen, 4 = 4 Bedingungen, 5 = 5 Bedingungen. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = 1 Bedingung5 = 5 Bedingungen
Nullstelle bei x = 4
Hochpunkt H(2|5)
Tangente in P(1|2) ist y = 3x − 1
Sattelpunkt S(1|3)
Wendepunkt W(0|0) mit Wendetangente y = 2x
Trick: Sattelpunkt und Wendepunkt mit Tangente liefern je drei Bedingungen: Punkt, Steigung und f″ = 0. Wer das erkennt, braucht für eine Funktion 3. Grades oft nur noch eine weitere Angabe.
Frage: Welche der Größen f, f′, f″ wird durch die Angabe festgelegt?Warum? Zähle für jede Angabe: Punkt? Steigung? Krümmung?
Hilfe: Tangente y = 3x − 1 in P(1|2): f(1) = 2 und f′(1) = 3. Sattelpunkt: f(1) = 3, f′(1) = 0, f″(1) = 0.