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Abituraufgaben: Kurvenanpassung im Abitur

Kanalprofil und Tunneldecke — zwei Steckbriefaufgaben im Stil des Niedersachsen-Abiturs.

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Querschnitt eines Kanals

AFB I–II

Ein Bewässerungskanal hat einen parabelförmigen Querschnitt. Er ist an der Oberkante 8 m breit und in der Mitte 2 m tief. Im Koordinatensystem (1 LE = 1 m) liegt die Oberkante auf der x-Achse und der tiefste Punkt auf der y-Achse.

Kanalquerschnitt
xy−5−4−3−2−112345−2,5−2−1,5−1−0,50,5T
Die gestrichelte Linie zeigt den Wasserspiegel bei 1,5 m Wassertiefe.
  1. Bestimmen Sie eine Gleichung der Parabel, die den Querschnitt beschreibt.
  2. Berechnen Sie die Breite des Wasserspiegels, wenn das Wasser 1,5 m tief steht.
  3. Weisen Sie nach, dass die Böschung an der Oberkante unter einem Winkel von 45° gegen die Horizontale ansteigt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Nutzen Sie die Symmetrie: Der Ansatz \(f(x)=ax^2+c\) hat nur zwei Parameter.„Bestimmen“ verlangt einen nachvollziehbaren Weg, nicht nur das Ergebnis.
Hinweis zu Aufgabe b)
Bei 1,5 m Wassertiefe liegt der Wasserspiegel 0,5 m unter der Oberkante, also auf der Höhe \(y=-0{,}5\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Der Steigungswinkel \(\alpha\) hängt über \(\tan\alpha=f'(x)\) mit der Ableitung zusammen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz wegen Achsensymmetrie: \(f(x)=ax^2+c\). Tiefster Punkt \((0\mid -2)\): \(c=-2\). Randpunkt \((4\mid 0)\): \(16a-2=0\Rightarrow a=0{,}125\).

\(f(x)=0{,}125x^2-2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0{,}125x^2-2=-0{,}5\Rightarrow x^2=12\Rightarrow x=\pm\sqrt{12}\approx\pm 3{,}46\).

Breite: \(2\sqrt{12}\approx 6{,}93\,\text{m}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(f'(x)=0{,}25x\), also \(f'(4)=1\). Mit \(\tan\alpha=1\) folgt \(\alpha=45^\circ\). Aus Symmetriegründen gilt dasselbe am linken Rand.

2

Die Decke eines Straßentunnels

AFB II–III

Ein Straßentunnel ist am Boden 10 m breit und in der Mitte 6 m hoch. Eine Vermessung ergibt: 4 m von der Mitte entfernt ist die Decke noch 3,6 m hoch. Die Deckenlinie soll durch eine ganzrationale Funktion vierten Grades beschrieben werden, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist (Fahrbahnmitte bei x = 0, 1 LE = 1 m).

Nach Vorschrift muss zwischen einem Fahrzeug und der Tunneldecke überall mindestens 0,5 m Luft bleiben. Ein Lkw ist 4 m hoch und 2,55 m breit; er fährt auf der rechten Fahrspur, deren innerer Rand 0,5 m rechts der Mitte liegt.

Tunnelquerschnitt
xy−6−5−4−3−2−11234561234567(4|3,6)Lkw
Tunneldecke; der Lkw fährt rechts der Fahrbahnmitte.
  1. Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion f, die die Deckenlinie beschreibt.
  2. Untersuchen Sie, ob die Tunneldecke in der Mitte ihren höchsten Punkt hat.
  3. Beurteilen Sie, ob der Lkw den Tunnel vorschriftsgemäß durchfahren kann, und geben Sie an, wie weit er höchstens nach rechts ausweichen darf.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Symmetrie liefert den Ansatz \(f(x)=ax^4+bx^2+c\). Drei Angaben aus dem Text reichen für drei Parameter; das LGS löst der GTR (fx-CG50: Gleichung → Simultan) bzw. das CAS (solve).
Hinweis zu Aufgabe b)
Bestimmen Sie die Extremstellen von f und vergleichen Sie die Funktionswerte. Das Ergebnis darf überraschen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Kritisch ist die äußere obere Ecke des Lkw. Vergleichen Sie dort die Deckenhöhe mit 4 m + 0,5 m. Für das Ausweichen lösen Sie \(f(x)=4{,}5\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Bedingungen: \(f(0)=6\), \(f(5)=0\), \(f(4)=3{,}6\).

\(c=6\); \(625a+25b=-6\); \(256a+16b=-2{,}4\).

GTR/CAS: \(a=-0{,}01\), \(b=0{,}01\), also \(f(x)=-0{,}01x^4+0{,}01x^2+6\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f'(x)=-0{,}04x^3+0{,}02x=-0{,}02x(2x^2-1)\); Nullstellen \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{0{,}5}\approx\pm 0{,}71\).

\(f''(0)=0{,}02>0\): Bei \(x=0\) liegt ein Tiefpunkt. Hochpunkte bei \(x\approx\pm0{,}71\) mit \(f\approx 6{,}0025\).

Die Decke ist also minimal (2,5 mm) nach unten gewölbt; praktisch ist das bedeutungslos, mathematisch liegt der höchste Punkt nicht in der Mitte.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Äußere Kante bei \(x=0{,}5+2{,}55=3{,}05\): \(f(3{,}05)\approx 5{,}23\ge 4{,}5\). Die Durchfahrt ist erlaubt.

\(f(x)=4{,}5\Leftrightarrow x^4-x^2-150=0\Rightarrow x^2=\tfrac{1+\sqrt{601}}{2}\approx12{,}76\Rightarrow x\approx3{,}57\).

Die rechte Lkw-Kante darf höchstens bei 3,57 m liegen, der Lkw also rund 0,5 m nach rechts ausweichen. Vollständig ist die Antwort mit Urteil und Begründung am Modell (Deckenlinie ist nur eine Näherung).