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Übungsaufgaben
Zehn Aufgaben quer durch das Thema — vom schnellen Wiedererkennen (AFB I) bis zum begründeten Urteil (AFB III). Jede Übung meldet sofort zurück; wenn du hängst, helfen die zwei Tipps.
A1
Was ein Integral aussagt
AFB IGib alle Aussagen an, die für ein bestimmtes Integral ∫ab f(x) dx stimmen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Das Integral ist eine orientierte Fläche: Teile unter der x-Achse zählen negativ. Stammfunktionen gibt es unendlich viele (F + C); bei F(b) − F(a) fällt das C aber wieder weg. Und bei gleichen Grenzen ist das Integral 0.
Frage: Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn der Graph unter der x-Achse liegt?Warum? Integrale bilanzieren: Flächen oberhalb zählen positiv, unterhalb negativ.
Hilfe: Denk an F(x) + C und an ein Intervall der Breite 0.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Behauptungen zu Stammfunktionen und Integralen. Ordne jede als richtig oder falsch ein.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Merke: Jede Stammfunktion lässt sich durch Ableiten prüfen — das kostet zehn Sekunden und rettet viele Punkte.
Frage: Wie überprüfst du, ob F wirklich eine Stammfunktion ist?Warum? Stammfunktion heißt: F′ = f.
Hilfe: Leite e^(2x) mit der Kettenregel ab — was kommt als Faktor heraus?
A3
Vom Zufluss zum Bestand
AFB IErläutere den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Bestand, indem du die Lücken füllst — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Beschreibt r eine , so liefert das Integral über r die Änderung des Um den Bestand selbst zu erhalten, addiert man den Berechnet wird das Integral mit einer von r. Die des Ergebnisses ist die Einheit von r mal die Einheit der Zeit
Die Ableitung führt in die umgekehrte Richtung: vom Bestand zur Rate. Wer im Abitur „Bestand“ liest, braucht das Integral.
Frage: In welche Richtung führt das Integrieren — von der Rate zum Bestand oder umgekehrt?Warum? Das Integral „sammelt“ die Änderungen auf.
Hilfe: Bestand = Anfangsbestand + Integral der Änderungsrate.
A4
Vorzeichen ohne Rechnen
AFB IOrdne jedes Integral dem richtigen Vorzeichen zu — eine Skizze im Kopf genügt.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Integral > 0
2Integral < 0
3Integral = 0
Trick: Bei ∫20 x² dx sind die Grenzen vertauscht — die Fläche ist positiv, das Integral aber negativ. Bei ∫04 (x − 2) dx heben sich zwei gleich große Dreiecke auf.
Frage: Liegt der Graph im Intervall oberhalb, unterhalb oder auf beiden Seiten der x-Achse?Warum? Skizziere den Graphen grob und schraffiere das Intervall.
Hilfe: Achte auch auf die Reihenfolge der Grenzen: obere Grenze kleiner als untere dreht das Vorzeichen um.
A5
Blitzintegral
AFB IBerechne ∫13 2x dx ohne Hilfsmittel.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
F(x) = x², also F(3) − F(1) = 9 − 1 = 8. Kontrolle am Graphen: Trapez mit Breite 2 und den Höhen 2 und 6 hat die Fläche 2 · (2 + 6) : 2 = 8.
Frage: Welche Funktion hat die Ableitung 2x?Warum? Suche F mit F′(x) = 2x.
Hilfe: F(x) = x²; setze die obere und die untere Grenze ein und bilde die Differenz.
A6
Fläche mit Vorzeichenwechsel
AFB IIGesucht ist die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über einem Intervall, in dem f das Vorzeichen wechselt. Stelle die Schritte in der richtigen Reihenfolge dar.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Nullstellen von f im Intervall bestimmen
2Intervall an den Nullstellen in Teilintervalle zerlegen
3Integral über jedes Teilintervall berechnen
4Beträge der Teilintegrale addieren
5Ergebnis in FE angeben und am Graphen auf Plausibilität prüfen
Wer sofort über das ganze Intervall integriert, bekommt eine Bilanz statt einer Fläche — im Abitur ein klassischer Punktverlust.
Frage: Warum darf man nicht einfach über das ganze Intervall integrieren?Warum? Flächen unter der x-Achse würden sonst abgezogen.
Hilfe: Erst Nullstellen, dann Teilintegrale, dann Beträge.
A7
Fläche zwischen zwei Graphen
AFB IIDie Graphen von f(x) = x² und g(x) = 2x schließen eine Fläche ein. Ermittle ihren Inhalt in vier Schritten.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Kleinere Schnittstelle x₁ =
- Größere Schnittstelle x₂ =
- ∫ von x₁ bis x₂ über g(x) dx =
- Eingeschlossene Fläche (auf 2 Nachkommastellen): FE
x² = 2x ⇔ x(x − 2) = 0. Zwischen 0 und 2 liegt die Gerade oben: ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3 ≈ 1,33 FE.
Frage: Wo schneiden sich die beiden Graphen?Warum? Setze x² = 2x und klammere x aus.
Hilfe: Fläche = ∫ (obere − untere Funktion) dx; ∫02 x² dx = 8/3.
A8
Stammfunktionen finden
AFB IIBestimme zu jeder Funktion f links eine Stammfunktion F rechts.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Schnelltest: rechts ableiten und schauen, ob links herauskommt. Bei e2x gleicht der Faktor ½ die innere Ableitung 2 aus.
Frage: Welche Funktion rechts ergibt abgeleitet die Funktion links?Warum? Rückwärts denken: Ableiten ist leichter als Integrieren.
Hilfe: Potenzregel rückwärts: Exponent um 1 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB IITom untersucht f(x) = x² − 4 auf dem Intervall [0; 3]. Überprüfe seine Notizen und markiere die drei falschen Zeilen.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Achtung Trick: Beim Mittelwert (Zeile 4) ist das orientierte Integral richtig — nur bei der Fläche braucht man Beträge.
Frage: Wo wechselt f im Intervall das Vorzeichen?Warum? Fläche und Integral sind nicht dasselbe.
Hilfe: Prüfe die Stammfunktion durch Ableiten und denk an vertauschte Grenzen.
A10
Was passiert mit dem Integral?
AFB IIIAusgangspunkt ist I = ∫0a x² dx mit a > 0. Beurteile für jede Veränderung, wie sich der Wert von I ändert — ohne zu rechnen.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = halbiert sich, 2 = bleibt gleich, 3 = verdoppelt sich, 4 = vervierfacht sich, 5 = verachtfacht sich. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = halbiert sich5 = verachtfacht sich
x² wird durch 2x² ersetzt
Die obere Grenze a wird verdoppelt
Graph an der y-Achse gespiegelt, Grenzen −a bis 0
x² wird durch ½x² ersetzt
Obere Grenze verdoppelt und x² durch ½x² ersetzt
I = a³/3: Die Grenze geht in der dritten Potenz ein, ein Faktor vor der Funktion nur linear. Deshalb wirkt das Verdoppeln der Grenze achtfach — und die Spiegelung ändert wegen der Symmetrie gar nichts.
Frage: Wie hängt I von a ab, wenn du die Stammfunktion hinschreibst?Warum? F(x) = x³/3, also I = a³/3.
Hilfe: Ein Faktor vor x² wirkt direkt auf I; eine verdoppelte Grenze wirkt mit 2³.