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Abituraufgaben: Integralrechnung im Abitur

Ein anfahrender Zug und ein Speichersee — Integrale als Weg, Bestand und Mittelwert.

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Ein Zug fährt an

AFB I–II

Ein Regionalzug fährt aus einem Bahnhof an. Seine Geschwindigkeit in den ersten 20 Sekunden wird modellhaft beschrieben durch \(v(t)=2t-0{,}05t^2\) mit \(t\) in Sekunden und \(v(t)\) in Metern pro Sekunde, \(0\le t\le 20\).

Geschwindigkeit des Zuges
t in sv in m/s2468101214161820224812162024
Die schraffierte Fläche entspricht dem zurückgelegten Weg.
  1. Geben Sie die Geschwindigkeit des Zuges nach 10 Sekunden in m/s und in km/h an.
  2. Berechnen Sie die Strecke, die der Zug in den ersten 20 Sekunden zurücklegt.
  3. Interpretieren Sie den Wert \(\frac{1}{20}\int_0^{20}v(t)\,dt\) im Sachzusammenhang.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Setzen Sie \(t=10\) ein. Umrechnung: \(1\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}=3{,}6\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\).„Angeben“ verlangt kein ausführliches Begründen — Ergebnis mit Einheit genügt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Weg ist das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit.
Hinweis zu Aufgabe c)
Der Ausdruck ist ein Mittelwert. Worüber wird gemittelt?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(v(10)=20-5=15\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}=54\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(s=\int_0^{20}(2t-0{,}05t^2)\,dt=\left[t^2-\tfrac{1}{60}t^3\right]_0^{20}=400-\tfrac{8000}{60}\approx 266{,}7\,\text{m}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\tfrac{266{,}7}{20}\approx 13{,}3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) ist die Durchschnittsgeschwindigkeit in den ersten 20 s: Mit konstant 13,3 m/s würde der Zug in derselben Zeit dieselbe Strecke zurücklegen.

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Schneeschmelze im Speichersee

AFB II–III

Während der Schneeschmelze fließt Wasser in einen Speichersee. Die Zuflussrate wird für die ersten 30 Tage beschrieben durch \(z(t)=-0{,}006t^2+0{,}18t\) mit \(t\) in Tagen und \(z(t)\) in Millionen m³ pro Tag. Gleichzeitig wird über das Kraftwerk konstant 0,8 Mio. m³ pro Tag abgelassen.

Zu Beginn (\(t=0\)) enthält der See 20 Mio. m³ Wasser. Aus Gründen des Hochwasserschutzes darf der Inhalt 25 Mio. m³ nicht überschreiten.

Zufluss und Abfluss
t in TagenMio. m³/Tag510152025300,20,40,60,811,21,41,6
Blau: Zuflussrate z; rot gestrichelt: Abflussrate 0,8 Mio. m³/Tag.
  1. Ermitteln Sie den Zeitraum, in dem die Wassermenge im See zunimmt.
  2. Stellen Sie einen Term für die Wassermenge \(W(t)\) im See auf und berechnen Sie die Wassermenge nach 30 Tagen.
  3. Beurteilen Sie, ob die Vorgabe des Hochwasserschutzes im betrachteten Zeitraum eingehalten wird, wenn das Kraftwerk den Abfluss nicht verändert.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Wassermenge nimmt zu, solange mehr zu- als abfließt. Lösen Sie \(z(t)=0{,}8\) (GTR: Graph → G-Solv → ISECT; CAS: solve).
Hinweis zu Aufgabe b)
Bestand = Anfangsbestand + Integral über (Zuflussrate − Abflussrate).
Hinweis zu Aufgabe c)
Das Maximum der Wassermenge liegt dort, wo der Bestand aufhört zu wachsen. Beziehen Sie in Ihr Urteil auch die Genauigkeit des Modells ein.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(-0{,}006t^2+0{,}18t=0{,}8\Leftrightarrow t^2-30t+133{,}\overline{3}=0\Rightarrow t_1\approx 5{,}4;\ t_2\approx 24{,}6\).

Zwischen etwa Tag 5,4 und Tag 24,6 gilt \(z(t)>0{,}8\): In diesem Zeitraum nimmt die Wassermenge zu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(W(t)=20+\int_0^t (z(x)-0{,}8)\,dx=20-0{,}002t^3+0{,}09t^2-0{,}8t\).

\(W(30)=20-54+81-24=23\): Nach 30 Tagen enthält der See 23 Mio. m³.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Maximum bei \(t_2\approx 24{,}6\) (Vorzeichenwechsel von \(z-0{,}8\) von + nach −): \(W(24{,}6)\approx 25{,}01\) Mio. m³. Randwerte \(W(0)=20\), \(W(30)=23\) sind kleiner.

Die Grenze wird rechnerisch um etwa 0,01 Mio. m³ (10 000 m³) überschritten. Das liegt innerhalb der Modellungenauigkeit, formal ist die Vorgabe aber verletzt. Sinnvolles Urteil: Der Betreiber sollte den Abfluss um Tag 20 bis 25 leicht erhöhen. Bewertet wird die begründete Entscheidung, nicht ein bestimmtes Urteil.