Hilfsmittelfreier Teil: Übungen – Mathe Grundkurs

A1

Satz vom Nullprodukt?

AFB I

Gib alle Gleichungen an, die sich sofort mit dem Satz vom Nullprodukt lösen lassen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Der Satz braucht ein Produkt und eine Null auf der anderen Seite. Bei (x − 1)(x + 2) = 4 muss man erst ausmultiplizieren und umstellen; e^x + x = 0 ist gar kein Produkt.

Frage: Welche zwei Dinge braucht der Satz vom Nullprodukt?Warum? Links ein Produkt, rechts eine Null.

Hilfe: Bei x² − 5x = 6 steht rechts keine Null — erst umformen.

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Kopfrechen-Fakten, die im Teil A ständig gebraucht werden. Ordne jede als richtig oder falsch ein.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Diese Umkehrregeln sind im Teil A Gold wert: Wer e^{ln a} = a und ln(e^b) = b sicher beherrscht, löst jede einfache Exponentialgleichung im Kopf.

Frage: Welche Zahl hat den Logarithmus 0?Warum? e⁰ = 1, also ln(1) = 0.

Hilfe: Kettenregel: innere Ableitung von 2x ist 2.

A3

Werkzeugkasten Teil A

AFB I

Beschreibe typische Strategien für den hilfsmittelfreien Teil — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Bei Gleichungen wie x³ − 4x = 0 hilft zuerst das . Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist — das ist der . Weil e^x immer ist, liefert ein Faktor e^x keine Lösung. „Mindestens ein Treffer“ berechnet man über das . Zur Kontrolle eines Integrals hilft eine .

Polynomdivision ist im Grundkurs-Abitur nicht nötig — ausklammern und substituieren genügt fast immer.

Frage: Was ist der erste Schritt bei x³ − 4x = 0?Warum? Alle Summanden enthalten x.

Hilfe: x(x² − 4) = 0 — dann greift der Satz vom Nullprodukt.

A4

Welcher Trick zuerst?

AFB I

Ordne jede Aufgabe dem Schritt zu, mit dem man sie beginnt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1zuerst ausklammern

2logarithmieren

3Gegenereignis nutzen

Achtung bei 2x² = 6x: Wer durch x teilt, verliert die Lösung x = 0. Deshalb erst alles auf eine Seite bringen und ausklammern.

Frage: Steht die Unbekannte im Exponenten oder als Potenz?Warum? Exponent → ln; Potenzen von x → ausklammern.

Hilfe: „Mindestens ein“ → 1 − P(keiner).

A5

Ableitung einsetzen

AFB I

Gegeben ist f(x) = x³ − 3x. Berechne f′(2) ohne Hilfsmittel.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

f′(x) = 3x² − 3, also f′(2) = 12 − 3 = 9. Häufiger Fehler: f(2) statt f′(2) ausrechnen — erst ableiten, dann einsetzen.

Frage: Was musst du vor dem Einsetzen tun?Warum? Erst ableiten, dann einsetzen.

Hilfe: f′(x) = 3x² − 3.

A6

Extrempunkte ohne Rechner

AFB II

Für f(x) = x³ − 3x sollen die Extrempunkte bestimmt werden. Stelle die Schritte in der richtigen Reihenfolge dar.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1f′(x) = 3x² − 3 bilden

2f′(x) = 0 lösen: x = −1 oder x = 1

3f″(x) = 6x bilden

4f″(1) = 6 > 0 ⇒ Tiefstelle; f″(−1) = −6 < 0 ⇒ Hochstelle

5Funktionswerte: T(1 | −2), H(−1 | 2)

Die y-Koordinaten werden gern vergessen — gefragt sind Extrempunkte, also beide Koordinaten.

Frage: Welche Bedingung liefert die Kandidaten?Warum? Notwendige Bedingung: f′(x) = 0.

Hilfe: Danach die hinreichende Bedingung mit f″ und zuletzt die y-Werte.

A7

Tangente im Kopf

AFB II

Gegeben ist f(x) = x² − 2x. Ermittle die Tangente an den Graphen im Punkt mit x = 3 und ihre Nullstelle.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

f(3) =
f′(3) =
y-Achsenabschnitt b der Tangente y = 4x + b:
Nullstelle der Tangente:

Punkt (3 | 3), Steigung 4: 3 = 4 · 3 + b ⇒ b = −9. Nullstelle: 4x − 9 = 0 ⇒ x = 9/4 = 2,25.

Frage: Welche zwei Angaben braucht eine Tangente?Warum? Einen Punkt und die Steigung.

Hilfe: f′(x) = 2x − 2; Punkt in y = mx + b einsetzen.

A8

Kurzaufgaben aus allen Gebieten

AFB II

Bestimme das Ergebnis jeder Kurzaufgabe im Kopf und verbinde.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Teil A mischt die Sachgebiete — trainiere, schnell zwischen Analysis, Geometrie und Stochastik zu wechseln.

Frage: Welche Aufgabe ist die leichteste? Beginne dort.Warum? Jede Aufgabe braucht nur einen Schritt.

Hilfe: √(1 + 4 + 4) = 3; f′(x) = 2e^2x.

A9

Fehlersuche im Schulheft

AFB II

Finn löst x · e^x − 2e^x = 0 und notiert Nebenrechnungen. Überprüfe seine Zeilen und markiere die drei falschen.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Die „Lösung“ x = 0 aus e^x = 0 kostet im Abitur Punkte, obwohl der Rest stimmt — Probe durch Einsetzen hätte den Fehler gezeigt.

Frage: Kann e^x null werden?Warum? Setze x = 0 in e^x ein: Was kommt heraus?

Hilfe: Produktregel und Logarithmusregeln prüfen.

A10

Wie viele Lösungen?

AFB III

Beurteile für jede Gleichung, wie viele reelle Lösungen sie hat — ohne sie vollständig zu lösen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = keine Lösung, 2 = eine Lösung, 3 = zwei Lösungen, 4 = drei Lösungen, 5 = vier Lösungen. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = keine Lösung5 = vier Lösungen

e^x = −1

x³ = 8

x² − 4 = 0

x³ − x = 0

x⁴ − 5x² + 4 = 0

Struktur schlägt Rechnen: x³ − x = x(x − 1)(x + 1) hat drei Faktoren, x⁴ − 5x² + 4 = (x² − 1)(x² − 4) vier Nullstellen. Und e^x wird nie negativ.

Frage: Welche Werte kann e^x annehmen?Warum? Zerlege die Terme in Faktoren und zähle.

Hilfe: x⁴ − 5x² + 4: Setze z = x² und löse z² − 5z + 4 = 0.

Übungen: Hilfsmittelfreier Teil

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