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Abituraufgaben: Hilfsmittelfreier Teil

Zwei Aufgaben im Stil von Teil A — ohne GTR, ohne Formelsammlung, mit kurzen, sauberen Wegen.

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1

Eine Funktion mit e-Faktor

AFB I–II

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=(x-1)\cdot e^x\), \(x\in\mathbb R\). Die Aufgabe ist ohne Hilfsmittel zu bearbeiten.

Graph von f
xy−4−3−2−112−1,5−1−0,50,511,522,53TN
Graph von f mit Tiefpunkt T und Nullstelle N.
  1. Geben Sie die Nullstelle von \(f\) an.
  2. Zeigen Sie, dass \(f'(x)=x\cdot e^x\) gilt.
  3. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(P(0\mid f(0))\) und beschreiben Sie ihre besondere Lage.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Satz vom Nullprodukt — und was wissen Sie über \(e^x\)?„Angeben“: Ergebnis genügt, eine kurze Begründung schadet nicht.
Hinweis zu Aufgabe b)
Produktregel mit \(u=x-1\) und \(v=e^x\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Berechnen Sie \(f(0)\) und \(f'(0)\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(e^x>0\), also \(f(x)=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f'(x)=1\cdot e^x+(x-1)\cdot e^x=(1+x-1)e^x=x\cdot e^x\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(f(0)=-1\), \(f'(0)=0\). Tangente: \(y=-1\).

Die Tangente verläuft waagerecht; P ist der Tiefpunkt des Graphen (vgl. Abbildung).

2

Vom Graphen der Ableitung zur Funktion

AFB II–III

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) einer Funktion \(f\) mit \(f'(x)=-0{,}5x^2+2x\). Außerdem gilt \(f(0)=1\). Die Aufgabe ist ohne Hilfsmittel zu bearbeiten.

Graph von f′ (nicht von f!)
xf′(x)−112345−2,5−2−1,5−1−0,50,511,522,53
Achtung: Dargestellt ist die Ableitung f′.
  1. Ermitteln Sie anhand des Graphen von \(f'\) die Extremstellen von \(f\) und ihre Art.
  2. Begründen Sie, dass der Graph von \(f\) bei \(x=2\) einen Wendepunkt hat.
  3. Ein Mitschüler behauptet: „\(f(4)\) ist um mehr als 4 größer als \(f(0)\).“ Beurteilen Sie diese Aussage.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Extremstellen von f liegen dort, wo \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat.
Hinweis zu Aufgabe b)
Eine Wendestelle von f ist eine Extremstelle von \(f'\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Die Änderung von f zwischen 0 und 4 ist das Integral über \(f'\). Tipp zur Kontrolle: Die Fläche unter dem Parabelbogen ist größer als die des Dreiecks mit Grundseite 4 und Höhe 2.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f'(0)=0\) mit Vorzeichenwechsel von − nach +: Tiefstelle bei \(x=0\).

\(f'(4)=0\) mit Vorzeichenwechsel von + nach −: Hochstelle bei \(x=4\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f'\) hat bei \(x=2\) einen Hochpunkt, d. h. die Steigung von f ist dort maximal. Links davon nimmt die Steigung zu (Linkskurve), rechts davon ab (Rechtskurve) — also Wendestelle bei \(x=2\). Rechnerisch: \(f''(x)=-x+2\) wechselt bei 2 das Vorzeichen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(f(4)-f(0)=\int_0^4\left(-0{,}5x^2+2x\right)dx=\left[-\tfrac16x^3+x^2\right]_0^4=-\tfrac{64}{6}+16=\tfrac{16}{3}\approx5{,}33\).

Die Aussage stimmt: \(f(4)=1+\tfrac{16}3=\tfrac{19}3\). Auch ohne Rechnung ließe sie sich über das Dreieck (Fläche 4) begründen, das vollständig unter dem Parabelbogen liegt.