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Übungsaufgaben
Zehn Aufgaben quer durch das Thema — vom schnellen Wiedererkennen (AFB I) bis zum begründeten Urteil (AFB III). Jede Übung meldet sofort zurück; wenn du hängst, helfen die zwei Tipps.
A1
Exponentielle Abnahme erkennen
AFB IGegeben ist f(t) = a · ekt mit a > 0 und k < 0. Nenne alle zutreffenden Eigenschaften.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
ekt ist immer positiv, deshalb erreicht der Graph die Achse nie. Die Halbwertszeit hängt nur von k ab — ob man mit 10 oder 10 000 startet, die Hälfte ist immer nach derselben Zeit weg.
Frage: Kann ekt jemals null werden?Warum? Eine Potenz mit positiver Basis ist immer positiv.
Hilfe: Setze t = 0 ein und löse a · ekT = ½a nach T — a kürzt sich weg.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Rechenregeln und Modellaussagen. Gib an, welche stimmen.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Merke: Linear = gleicher Summand, exponentiell = gleicher Faktor, begrenzt = der Abstand zur Schranke schrumpft um einen gleichen Faktor.
Frage: Welche Logarithmusregel gilt für Produkte?Warum? Logarithmen machen aus Produkten Summen.
Hilfe: Unterscheide „gleicher Zuwachs“ (linear) und „gleicher Faktor“ (exponentiell).
A3
Fachsprache Wachstum
AFB IBeschreibe Wachstumsmodelle mit den richtigen Fachbegriffen — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Bei f(t) = a · bt heißt b der . Schreibt man f(t) = a · ekt, so ist k die mit k = ln(b). Ist k < 0, heißt ln 2 / |k| die . Beim begrenzten Wachstum nähert sich der Bestand einer S. Die Differenz S − f(t) heißt .
Einen Wendepunkt haben weder exponentielle noch begrenzte Wachstumsfunktionen — der Begriff gehört zum logistischen Wachstum.
Frage: Wie heißt die Zahl, mit der der Bestand pro Zeitschritt multipliziert wird?Warum? b ist ein Faktor, k eine Konstante im Exponenten.
Hilfe: S − f(t) ist das, was „noch fehlt“ bis zur Sättigung.
A4
Welches Modell passt?
AFB IOrdne jede Situation dem passenden Wachstumsmodell zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1exponentielles Wachstum
2exponentielle Abnahme
3begrenztes Wachstum
Unterscheidungsmerkmal: Gibt es eine natürliche Obergrenze (Raumtemperatur, Wortschatz), ist das Wachstum begrenzt — auch wenn es am Anfang schnell geht.
Frage: Gibt es eine Grenze, der sich die Größe nähert?Warum? Begrenztes Wachstum braucht eine Schranke, z. B. die Raumtemperatur.
Hilfe: Abnahme: Die Größe wird mit der Zeit kleiner, ohne unter null zu fallen.
A5
Halbwertszeit
AFB IEin Stoff wird nach f(t) = 80 · e−0,05t abgebaut (t in Minuten). Berechne die Halbwertszeit auf zwei Nachkommastellen.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
T = ln 2 / 0,05 ≈ 13,86 min. Die 80 spielt keine Rolle — wer 40 = 80 · e−0,05T ansetzt, sieht, wie sie sich wegkürzt.
Frage: Welche Gleichung beschreibt „die Hälfte ist noch da“?Warum? Setze f(T) = ½ · f(0).
Hilfe: e−0,05T = 0,5 ⇒ −0,05T = ln 0,5 ⇒ T = ln 2 / 0,05.
A6
Exponentialgleichung lösen
AFB IIGesucht ist die Lösung von 3 · e0,2t + 1 = 13. Stelle die Umformungen in der richtigen Reihenfolge dar.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1−1 auf beiden Seiten: 3 · e0,2t = 12
2durch 3 teilen: e0,2t = 4
3logarithmieren: 0,2t = ln 4
4durch 0,2 teilen: t = 5 · ln 4
5Näherungswert: t ≈ 6,93
Häufigster Fehler: zu früh logarithmieren. ln(3e0,2t + 1) lässt sich nicht vereinfachen — erst die e-Potenz allein auf eine Seite bringen.
Frage: Was muss allein auf einer Seite stehen, bevor du logarithmierst?Warum? Der ln hebt nur eine reine e-Potenz auf.
Hilfe: Rückwärts: erst +1 weg, dann den Faktor 3, dann ln.
A7
Bakterienkultur
AFB IIEine Bakterienkultur wächst nach f(t) = 500 · e0,3t (t in Stunden). Ermittle die Werte Schritt für Schritt (GTR erlaubt).
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Anzahl zu Beginn:
- Anzahl nach 4 Stunden (gerundet):
- Verdopplungszeit (2 Nachkommastellen): h
- Zeitpunkt, zu dem 10 000 Bakterien erreicht sind: h
Die Verdopplungszeit ln 2 / 0,3 ≈ 2,31 h hilft beim Überschlagen: 10 000 ist das 20-Fache von 500, also gut vier Verdopplungen (2⁴ = 16) — knapp 10 h passt.
Frage: Welcher Wert steht vor der e-Funktion?Warum? f(0) = 500 · e⁰.
Hilfe: Verdopplung: e0,3T = 2. Für 10 000: e0,3t = 20.
A8
Ableitungen zuordnen
AFB IIBestimme zu jeder Funktion die passende Ableitung.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Bei jeder e-Funktion wandert die Ableitung des Exponenten als Faktor nach vorn. Beim Produkt x · ex brauchst du zusätzlich die Produktregel.
Frage: Was ist die innere Ableitung des Exponenten?Warum? Kettenregel: äußere Ableitung · innere Ableitung.
Hilfe: −2 · 0,5 = −1; bei x · ex: 1 · ex + x · ex.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB IIEin Bestand nimmt jährlich um 12 % ab. Überprüfe Mias Rechnung und markiere die drei falschen Zeilen.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der Prozent-Fehler aus Zeile 4 ist der Klassiker: Prozentuale Abnahmen werden multipliziert, nicht addiert.
Frage: Wie verhält sich eine prozentuale Abnahme über mehrere Jahre?Warum? Jedes Jahr wird mit 0,88 multipliziert.
Hilfe: Prüfe die Halbwertszeit mit einer Überschlagsrechnung: Nach 0,18 Jahren kann nicht die Hälfte weg sein.
A10
Was passiert mit der Halbwertszeit?
AFB IIIAusgangspunkt ist f(t) = a · e−kt mit a, k > 0. Beurteile ohne Rechnung, wie sich die Halbwertszeit ändert.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird geviertelt, 2 = halbiert sich, 3 = bleibt gleich, 4 = verdoppelt sich, 5 = vervierfacht sich. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = wird geviertelt5 = vervierfacht sich
a wird verdoppelt
k wird verdoppelt
k wird geviertelt
k wird vervierfacht
k und a werden beide halbiert
T = ln 2 / k: Die Halbwertszeit ist umgekehrt proportional zu k und völlig unabhängig von a. Wer das weiß, spart sich jede Rechnung.
Frage: Welche Parameter kommen in der Formel für die Halbwertszeit vor?Warum? T = ln 2 / k.
Hilfe: Doppeltes k ⇒ halbes T. Der Anfangswert a spielt keine Rolle.