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Abituraufgaben: e-Funktion im Abitur

Ein Medikament im Blut und eine App auf dem Weg zur Sättigung — Wachstumsmodelle im Abitur.

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Ein Medikament im Blut

AFB I–II

Nach einer Injektion wird die Konzentration eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten modellhaft beschrieben durch \(c(t)=12\cdot e^{-0{,}2t}\) mit \(t\) in Stunden nach der Injektion und \(c(t)\) in mg pro Liter. Unterhalb von 2 mg/l ist der Wirkstoff nicht mehr wirksam.

Wirkstoffkonzentration
t in hc in mg/l24681012142468101214
Rot gestrichelt: Wirksamkeitsgrenze 2 mg/l.
  1. Geben Sie die Konzentration unmittelbar nach der Injektion an und berechnen Sie die Konzentration nach 3 Stunden.
  2. Bestimmen Sie, wie lange der Wirkstoff wirksam ist.
  3. Zeigen Sie, dass sich die Konzentration alle 3,47 Stunden halbiert, und erläutern Sie, warum dies unabhängig vom Zeitpunkt gilt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Setzen Sie \(t=0\) bzw. \(t=3\) ein.
Hinweis zu Aufgabe b)
Lösen Sie \(c(t)=2\) — ohne Hilfsmittel mit dem natürlichen Logarithmus.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleichen Sie \(c(t+T)\) mit \(c(t)\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(c(0)=12\,\tfrac{\text{mg}}{\text{l}}\); \(c(3)=12\cdot e^{-0{,}6}\approx 6{,}59\,\tfrac{\text{mg}}{\text{l}}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(12e^{-0{,}2t}=2\Leftrightarrow e^{-0{,}2t}=\tfrac16\Leftrightarrow t=\tfrac{\ln 6}{0{,}2}\approx 8{,}96\).

Der Wirkstoff ist knapp 9 Stunden wirksam.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(c(t+T)=12e^{-0{,}2t}\cdot e^{-0{,}2T}=c(t)\cdot e^{-0{,}2T}\). Halbierung: \(e^{-0{,}2T}=0{,}5\Rightarrow T=\tfrac{\ln 2}{0{,}2}\approx 3{,}47\,\text{h}\).

Da der Faktor \(e^{-0{,}2T}\) nicht von \(t\) abhängt, ist die Halbwertszeit zu jedem Zeitpunkt gleich — typisch für exponentielle Abnahme.

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Eine App auf dem Weg zur Sättigung

AFB II–III

Ein Start-up bringt eine Lern-App für Schülerinnen und Schüler einer Region heraus. Die Zahl der Nutzer wird modelliert durch \(N(t)=50-45\cdot e^{-0{,}15t}\) mit \(t\) in Monaten nach dem Start und \(N(t)\) in Tausend.

Die Marketingabteilung verkündet nach einem Jahr: „Wenn es so weitergeht, knacken wir nach zwei Jahren die 50 000 Nutzer — und danach geht es erst richtig los.“

Nutzerentwicklung
t in MonatenN in Tsd.61218243036102030405060
Violett gestrichelt: Schranke des Modells.
  1. Deuten Sie die Zahlen 50, 45 und 0,15 im Funktionsterm im Sachzusammenhang.
  2. Ermitteln Sie, nach wie vielen Monaten die App 90 % ihrer maximalen Nutzerzahl erreicht.
  3. Nehmen Sie Stellung zur Aussage der Marketingabteilung.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Bestimmen Sie \(N(0)\) und das Verhalten für \(t\to\infty\).
Hinweis zu Aufgabe b)
90 % der Schranke sind 45 (Tausend). Lösen Sie \(N(t)=45\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfen Sie beide Teile der Aussage am Modell: den Wert nach 24 Monaten und das Verhalten danach. Beurteilen Sie auch, wie sinnvoll das Modell ist.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

50: Sättigungsgrenze (50 000 Nutzer). \(N(0)=5\): Zum Start gibt es 5 000 Nutzer; 45 ist also der anfängliche Abstand zur Grenze (Sättigungsmanko). 0,15: Wachstumskonstante — pro Monat schrumpft das Sättigungsmanko um den Faktor \(e^{-0{,}15}\approx0{,}86\), also um etwa 14 %.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(50-45e^{-0{,}15t}=45\Leftrightarrow e^{-0{,}15t}=\tfrac19\Leftrightarrow t=\tfrac{\ln 9}{0{,}15}\approx 14{,}6\).

Nach knapp 15 Monaten sind 90 % erreicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(N(24)=50-45e^{-3{,}6}\approx 48{,}8\): Nach zwei Jahren sind es etwa 48 800 Nutzer, 50 000 werden im Modell nie erreicht, da \(e^{-0{,}15t}>0\).

„Danach geht es erst richtig los“ widerspricht dem Modell: \(N'(t)=6{,}75e^{-0{,}15t}\) nimmt ständig ab, das Wachstum wird immer langsamer.

Eine vollständige Stellungnahme erwähnt, dass die Aussage nur gelten könnte, wenn sich die Rahmenbedingungen ändern (neue Region, neue Zielgruppe) — dann bräuchte man ein neues Modell.