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Abituraufgaben: GTR und CAS in der Prüfung

Ein Höhenprofil und eine Akku-Lieferung — Aufgaben aus Teil B mit sauber dokumentiertem GTR- bzw. CAS-Einsatz.

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Das Höhenprofil einer Radtour

AFB I–II

Das Höhenprofil einer 12 km langen Radtour wird modelliert durch \(h(x)=-2x^3+30x^2+200\) mit \(x\) in Kilometern ab dem Start und \(h(x)\) in Metern über dem Meeresspiegel, \(0\le x\le 12\). Verwenden Sie den GTR bzw. das CAS und dokumentieren Sie Ihren Rechnereinsatz.

Höhenprofil
x in kmh in m123456789101112200400600800100012001400
Modell des Höhenprofils.
  1. Bestimmen Sie den höchsten Punkt der Strecke.
  2. Ermitteln Sie die Stelle, an der die Strecke am steilsten ansteigt, und geben Sie die Steigung dort in Prozent an.
  3. Berechnen Sie die mittlere Höhe der Strecke.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Suchen Sie das Maximum im Intervall [0; 12] und vergessen Sie die Ränder nicht.Dokumentation: Ansatz, verwendete Funktion des Rechners, Ergebnis mit Einheit.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die steilste Stelle ist ein Maximum von \(h'\). Achtung Einheiten: \(h'\) hat die Einheit m/km.
Hinweis zu Aufgabe c)
Mittelwert einer Funktion: \(\frac{1}{b-a}\int_a^b h(x)\,dx\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: Maximum von \(h\) auf \([0;12]\). GTR (G-Solv → MAX) bzw. CAS (fMax): \(x=10\), \(h(10)=1200\).

Randwerte: \(h(0)=200\), \(h(12)=1064\). Der höchste Punkt liegt nach 10 km auf 1200 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(h'(x)=-6x^2+60x\); Maximum von \(h'\) (GTR: MAX im Graphen von \(h'\) oder \(h''(x)=0\)): \(x=5\), \(h'(5)=150\,\tfrac{\text{m}}{\text{km}}\).

150 m Höhe auf 1000 m Strecke: Steigung 15 %.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\frac1{12}\int_0^{12}h(x)\,dx=\frac{9312}{12}=776\). GTR: ∫dx im Grafik- oder Run-Menü.

Die mittlere Höhe beträgt 776 m.

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Eine Lieferung Akkus

AFB II–III

Ein Hersteller von Handy-Akkus gibt an, dass 4 % seiner Akkus fehlerhaft sind. Ein Händler erhält eine Lieferung von 250 Akkus. Die Anzahl fehlerhafter Akkus wird als binomialverteilt angenommen.

Die Lösung eines Schülers zu Teilaufgabe a) lautet vollständig: „Bcd = 0,58“.

  1. Bestätigen Sie, dass höchstens 10 Akkus der Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 58 % fehlerhaft sind.
  2. Der Händler möchte eine Zahl \(k\) so festlegen, dass mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit höchstens \(k\) Akkus fehlerhaft sind. Untersuchen Sie, welches das kleinste solche \(k\) ist.
  3. Bewerten Sie die Lösung des Schülers zu Teilaufgabe a) und geben Sie an, was für die volle Punktzahl fehlt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Legen Sie die Zufallsgröße fest und notieren Sie die Verteilung, bevor Sie rechnen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gesucht ist das kleinste \(k\) mit \(P(X\le k)\ge0{,}95\). Eine Wertetabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten hilft.
Hinweis zu Aufgabe c)
Orientieren Sie sich an drei Kriterien: Modell/Ansatz, Dokumentation des Rechnereinsatzes, Ergebnis mit Deutung.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(X\): Anzahl fehlerhafter Akkus, \(X\sim B(250;\,0{,}04)\).

\(P(X\le10)\approx0{,}583\) (GTR: Bcd(10; 250; 0,04), CAS: binomCdf(250, 0.04, 0, 10)).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Tabelle von \(P(X\le k)\): \(k=14\): \(\approx0{,}921\); \(k=15\): \(\approx0{,}955\).

Das kleinste \(k\) ist 15.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Das Ergebnis 0,58 ist numerisch richtig gerundet. Es fehlen: die Festlegung der Zufallsgröße, die Verteilung \(B(250;0{,}04)\), das gesuchte Ereignis \(P(X\le10)\) und ein Antwortsatz. „Bcd“ ohne Parameter lässt nicht erkennen, was gerechnet wurde.

Bewertung: Nur ein Teil der Punkte — das Ergebnis stimmt, der Weg ist nicht nachvollziehbar.